Chapitre VII
Fonctions exponentielles
3 février 2011
Table des matières
1 Lesfontions exponentielles . . . 2
1.1 Introdution . . . 2
1.2 Fontions exponentielles de base
a
. . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 La fontion exponentielle de base e . . . 4
2 Fontionexponentielle et nombres omplexes . . . 5
2.1 Notation exponentielle d'un nombre omplexe . . . 5
2.2 Eaités de lanotation . . . 6
2.3 Appliations . . . 7
2.4 Complexe ettransformation . . . 8
1.
Les fontions exponentielles
On introduit unefontion exponentielle ommeprolongementd'une suite géométrique
de raison stritement positive et de premier terme 1. Il s'agit de mettre en ÷uvre une
démarhe permettantde faireomprendreaux élèves ommentonpeut passer du disret
(suite géométrique de raison stritement positive) au ontinu (fontion exponentielle de
base q) en plusieursétapes. Le problème du prolongement peut-être posé ainsi :
1.1.
Introdution
Lenuagedepointsreprésentantunesuitearithmétiqueestinlusdanslaourbereprésen-
tatived'une fontion ane.Que se passe-t-ilpour une suite géométrique?
On veut don eetuer un passage de N dans R an de pouvoir dénir des suites
géométriques généralisées sur R. On souhaite par ailleurs onserver la propriété des
suites géométriques :
q n × q m = q n+m
On onsidére lasuite géométrique
(u n ) n ∈
N de raisonq = 1.5
et de premier terme1
: Elleest don déniepar
u 0 = 1
etq = 1, 5
.Son graphiqueest le suivant :1 2 3 4 5 6 7
− 1 1 2 3 4 5
− 1
− 2
− 3
− 4
− 5
− 6
b b b b b b
Etape 1 : Passage de N dans Z
Pour étendre e graphique à Z, il sut de se rapeller que
x − n = 1
x n
. On plae don lespointsdes oordonées
( − n; 1
x n )
pourn = 1; 2; 3; 4; 5
.Etape 2 : On double le nombre de points
Pour ompléter de façon ohérente e graphique, onremarque que:
1
. La suite des indies est telle que haque terme est la moyenne arithmétique du terme qui le préède immédiatement et du terme qui le suit immédiatement :n =
(n − 1)(n + 1)
2
.2
. Chaque terme de la suite est la moyenne géométrique du terme qui le préède immédiatement etdu terme qui lesuit immédiatement:u n = √ u n − 1 u n+1
.3
. Cei n'estpas étonnantpuisque lasommede indiessetraduitspourlespuissanespar la multipliation des termes et la division des indies par 2 orrespond à la
puissane
1
2
, 'est à dire laraine arrée. Plus lairement:u x+y
2 = q x+y 2
= (q x+y ) 1 2
= √
q x × q y
= p
u x × u y
Onpeutdonajouterentredeuxtermessuessifsdeettesuiteletermed'indie
n(n + 1) 2
dont lavaleur est
√ u n u n+1
.Etape 3 : On réitère le proédé.
A partir de es nouveaux points, on réitère l'étape 2. en plaant un nouveau point en-
tre deux points suessifs existants; et ainsi de suite. On obtient ainsi la représentation
graphique d'unesuite géométrique sur R qui respete les propriétés initiales.
1 2 3 4 5 6 7
− 1 1 2 3 4 5
− 1
− 2
− 3
− 4
− 5
− 6
1.2.
Fontions exponentielles de base
a
Définition 1 : Fonctions exponentielles de base a
a étant un nombre strictement positif et différent de 1, on appelle fonction exponen- tielle de base a la fonction f définie pour tout x de
Rpar
f (x) = a x .
Théorème 1 : Sens de variation
La fonction exponentielle de base a est :
• croissante si a > 1
• décroissante si a < 1
• (et constante si a = 1, mais la valeur a = 1 est interdite par définition).
Théorème 2 : signe
La fonction exponentielle de base a est strictement positive pour toutes valeurs de x.
1 2 3 4 5 6 7
− 1 1 2 3 4 5
− 1
− 2
− 3
− 4
− 5
− 6
3.5 x 0.1 x
Théorème 3 : Propriétés algébriques
Les propriétés vraies pour puissances entières restent vraies pour les puissances réelles. À savoir : Pour tout réel x et y, on a :
• a x × a y = a x+y
• 1
a x = a − x
• a x
a y = a x − y
• a x y = a x × y
1.3.
La fontion exponentielle de base e
Définition 2 : Fonction exponentielle de base
eParmi toutes les fonctions exponentielles, il en existe une qui est égale à sa dérivée, c’est celle qui correspond à la base
e
≃ 2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696 7627724076630353547594571382178525166427.
Ce nombre est de même nature que π, c’est à dire qu’il n’a pas d’écriture décimale exacte.
Cette valeur particulière de la base se note traditionnellement
e. On note donc f (x) =
ex .
Remarques :
•
Dans la suite, sauf indiation ontraire, si on ne préise pas la base de la fontionexponentielle, 'est qu'ils'agit de elle de base e.
•
La fontionexponentielle de base eorrespond àla touhee x
de laalulatrie.
De l'étude des fontions exponentielles de base
a
, de la formule générale de la dérivéed'une fontions omposée, on déduitque :
Théorème 4 : Propriétés de la fonction exponentielle
•
ex ×
ey =
ex+y
• 1
e
x =
e− x
•
e
x
e
y =
ex − y
•
ex y =
ex × y
•
ex est strictement croissante sur
R.
•
ex est strictement positive sur
R• lim
x 7→−∞
e
x = 0 et lim
x 7→ + ∞
e
x = + ∞
• (
ex ) ′ =
ex et
eu(x) ′
= u ′ (x) ×
eu(x)
1 2 3 4 5 6 7
− 1 1 2 3 4 5
− 1
− 2
− 3
− 4
− 5
− 6
e
x
Théorème 5 : Croissance comparée
La fonction exponentielle l’emporte en ±∞ sur toute fonction polynôme, c’est à dire : Pour tout entier α strictement positif
x 7→−∞ lim x α
ex = 0
etlim
x 7→ + ∞
e
x
x α = + ∞ Les autres limites ne sont pas indéterminées.
Exeriesur he: 5-6
Exeriesur lelivre:
dérivées14-18p283;46-50 p287
primitives19-22p283;51-58 p287
limites9-13p283;43-45p287
2.
Fontion exponentielle et nombres omplexes
2.1.
Notation exponentielle d'un nombre omplexe
Remarque : Lespropriétés des fontions exponentielles permettent d'érire
k
ex × k ′
ex ′ = kk ′
ex+x ′
Ainsi, on multiplie les parties non exponentielle et on additionne les exposants. Cette
similitudeave lespropriétés des moduleset argumentsdes nombres omplexes amènent
à ladénition :
Définition 3 : Notation exponentielle d’un nombre complexe.
Soit z un nombre complexe.
La notation exponentielle de z est z = r
eiθ où r est le module de z, θ est l’argument de z,
et
eest le nombre tel que ln(e) = 1.
Exemple : Le nombre omplexede module 2et d'argument
π
3
est noté2
eiπ 3
.Sa formealgébriqueest
z = 2(cos π 3 +
iπ 3 ) = 1 +
i√ 3
.Remarque: Ilnefautpasonfondrelafontionexponentielle
e x
quinesealulequepourtout réel
x
et lanotationexponentielle e iθ
quiest àvaleuromplexe.
Exeriesur he: 1-2
Exeriesurlelivre: 12-17-18p35;70-71 p36-42
Théorème 6 :
Les propriétés sur les modules et les arguments des nombres complexes se traduisent par :
r
eiθ × r ′
eiθ ′ = r × r ′ e i(θ+θ ′ ) r
eiθ r ′
eiθ ′ = r
r ′ e i(θ − θ ′ ) (r
eiθ ) n = r n e inθ
2.2. Eaités de la notation
Lanotationexponentiellepermetdealulerplusfailementdes produitsoudesquotients
de nombres omplexes.
Exerie résolu 1 :
Soit
z = 3
ei3π 4
etz ′ = 7
ei− 3 2π
. Calulerzz ′
etz z ′
.Solution :
zz ′ = 3 × 7 e i( 3π 4 + − 3 2π ) = 21
ei12 π
.z
z ′ = 3 7 e i( 3π 4 − − 3 2π ) = 3 7
ei17π 12
.Exeriesur he: 3-4
Exeriesurlelivre: 60p41
La notation exponentielle permet de aluler plus failement des puissanes de nombres
omplexes.
Exerie résolu 2 :
Caluler
(1 + i) 8
Solution :
(1 + i ) 8 = ( √
2
eiπ 4 ) 8 = √
2 8
ei8π 4 = 16 e i2π = 16
Exeriesurhe: 5-6-7
Lanotationexponentiellepermetd'obtenir(entreautre)lesformulesd'additiondetrigonométrie:
Théorème 7 : Formules trigonométriques
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b sin(a + b) = cos a sin b + cos b sin a
Preuve.
D'une part,
e i(a+b) = cos(a + b) + i sin(a + b)
.D'autre part,
e i(a+b) = e ia × e ib
= (cos a + i sin a)(cos b + i sin b)
= cos a cos b − sin a sin b + i(cos a sin b + cos b sin a)
Par identiation despartiesréelles etimaginaires, on retrouve lesformulesd'addition :
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
etsin(a + b) = cos a sin b + cos b sin a
Exeriesurhe: 8
Exerie résolu 3 :
En remarquantque
π
12 = π 3 + − 4 π
, donnerles valeurs exates decos( 12 π )
etsin( 12 π )
Solution :
cos( 12 π ) = cos( π 3 + − 4 π ) = cos( π 3 ) cos( − 4 π ) − sin( π 3 ) sin( − 4 π ) = 1 2 × √ 2 2 − √ 2 3 ×
− √ 2
2 = √ 4 2 × √ 4 6 = √ 6+ 4 √ 2
.On montre de lamême manièreque
cos( 12 π ) = √ 6 − 4 √ 2
.2.3.
Appliations
Théorème 8 : Formule de Moivre (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ.
Preuve.
(cos θ+
i sin θ) n = (e iθ ) n = e inθ = cos nθ + i sin nθ
Exeriesurhe: 10
etteformuleestàlabasedelaméthodepermettantd'exprimer
cos nθ
etsin nθ
enfontionde
cos θ
etsin θ
.Exerie résolu 4 :
Exprimer
cos 3θ
etsin 3θ
en fontion decos θ
etsin θ
.Solution :
D'une part ,d'après laformulede Moivre,
(cos θ + i sin θ) 3 = cos(3θ) + i sin(3θ)
.D'autre part, la formule
(a + b) 3 = a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3
donne:(cos θ + i sin θ) 3 = cos 3 θ + 3 cos 2 i sin θ + 3cosθ(i sin θ) 2 + 3(i sin θ) 3 = cos 3 θ − 3 cos θ sin 2 θ + i (3 cos 2 θ sin θ − sin 3 θ )
Paridentiationdes parties réelles etimaginaires, ondéduit :
cos 3θ = cos 3 θ − 3 cos θ sin 2 θ = 4 cos 4 θ − 3 cos θ
etsin 3θ = 3 cos 2 θ sin θ − sin 3 θ
.Théorème 9 : Formule d’Euler
cos θ =
eiθ + 2
ei−θ et sin θ =
eiθ − 2
ei−θ .
Preuve.
e i
θ +
ei−
2 cos θ+isinθ+cos( − θ)+i sin( − θ)
2 = cos θ+isinθ+cos θ − i sinθ
2 = 2 cos 2 θ = cos θ
Exeriesurhe: 9
Définition 4 : Linéarisation
Linéariser une expression trigonométrique, c’est trouver une expression du premier degré qui lui soit égale.
Les
formules d'Eulersont àla basede laméthode permettantde linéariser
cos n θ
(ousin n θ
).Exerie résolu 5 :
Linéariser
cos 4 θ
.Solution : A l'aide de la relation
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
et de laformule d'Euler,onérit
cos 4 θ = (
eiθ + 2
e−
iθ ) 4
= (
eiθ ) 4 +4(
eiθ ) 3
e−
iθ +6(
eiθ ) 2 16 (
e−
iθ ) 2 +4
eiθ (
e−
iθ ) 3 +(
e−
iθ ) 4
=
ei4θ +4
ei2θ +6+4 16
e−
i2θ +
e−
i4θ
= (
ei4θ +
e−
i4θ )+4( 16
ei2θ +
e−
i2θ )+6
= 2 cos 4θ+4 cos 2θ+6
= cos4θ 8 + 16 cos2θ 2 + 3 8
Exeriesurhe: 11-12
Exeriesurlelivre: 19-20p36et73-74p43
2.4.
Complexe et transformation
Théorème 10 (admis) : Notation complexe d’une translation
Soit → u un vecteur du plan d’affixe b.L’application qui a tout point M d’affixe z, fait correspondre le point M’, d’affixe z ′ telle que z ′ = z + b est la translation de vecteur → u
Théorème 11 (admis) : Notation complexe d’une rotation
L’application qui a tout point M d’affixe z, fait correspondre le point M’, d’affixe z ′ telle que z ′ =
eiθ × z est la rotation de centre O et d’angle θ.
Exeriesurhe: 13-14-15-16
Exeriesurlelivre: 24-27-28-29p37