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Texte intégral

(1)

Chapitre VII

Fonctions exponentielles

3 février 2011

Table des matières

1 Lesfontions exponentielles . . . 2

1.1 Introdution . . . 2

1.2 Fontions exponentielles de base

a

. . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 La fontion exponentielle de base e . . . 4

2 Fontionexponentielle et nombres omplexes . . . 5

2.1 Notation exponentielle d'un nombre omplexe . . . 5

2.2 Eaités de lanotation . . . 6

2.3 Appliations . . . 7

2.4 Complexe ettransformation . . . 8

(2)

1.

Les fontions exponentielles

On introduit unefontion exponentielle ommeprolongementd'une suite géométrique

de raison stritement positive et de premier terme 1. Il s'agit de mettre en ÷uvre une

démarhe permettantde faireomprendreaux élèves ommentonpeut passer du disret

(suite géométrique de raison stritement positive) au ontinu (fontion exponentielle de

base q) en plusieursétapes. Le problème du prolongement peut-être posé ainsi :

1.1.

Introdution

Lenuagedepointsreprésentantunesuitearithmétiqueestinlusdanslaourbereprésen-

tatived'une fontion ane.Que se passe-t-ilpour une suite géométrique?

On veut don eetuer un passage de N dans R an de pouvoir dénir des suites

géométriques généralisées sur R. On souhaite par ailleurs onserver la propriété des

suites géométriques :

q n × q m = q n+m

On onsidére lasuite géométrique

(u n ) n ∈

N de raison

q = 1.5

et de premier terme

1

: Elle

est don déniepar

u 0 = 1

et

q = 1, 5

.Son graphiqueest le suivant :

1 2 3 4 5 6 7

− 1 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

b b b b b b

Etape 1 : Passage de N dans Z

Pour étendre e graphique à Z, il sut de se rapeller que

x n = 1

x n

. On plae don les

pointsdes oordonées

( − n; 1

x n )

pour

n = 1; 2; 3; 4; 5

.

Etape 2 : On double le nombre de points

Pour ompléter de façon ohérente e graphique, onremarque que:

1

. La suite des indies est telle que haque terme est la moyenne arithmétique du terme qui le préède immédiatement et du terme qui le suit immédiatement :

n =

(n − 1)(n + 1)

2

.

2

. Chaque terme de la suite est la moyenne géométrique du terme qui le préède immédiatement etdu terme qui lesuit immédiatement:

u n = √ u n 1 u n+1

.

3

. Cei n'estpas étonnantpuisque lasommede indiessetraduitspourlespuissanes

par la multipliation des termes et la division des indies par 2 orrespond à la

(3)

puissane

1

2

, 'est à dire laraine arrée. Plus lairement:

u x+y

2 = q x+y 2

= (q x+y ) 1 2

= √

q x × q y

= p

u x × u y

Onpeutdonajouterentredeuxtermessuessifsdeettesuiteletermed'indie

n(n + 1) 2

dont lavaleur est

√ u n u n+1

.

Etape 3 : On réitère le proédé.

A partir de es nouveaux points, on réitère l'étape 2. en plaant un nouveau point en-

tre deux points suessifs existants; et ainsi de suite. On obtient ainsi la représentation

graphique d'unesuite géométrique sur R qui respete les propriétés initiales.

1 2 3 4 5 6 7

− 1 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1.2.

Fontions exponentielles de base

a

Définition 1 : Fonctions exponentielles de base a

a étant un nombre strictement positif et différent de 1, on appelle fonction exponen- tielle de base a la fonction f définie pour tout x de

R

par

f (x) = a x .

Théorème 1 : Sens de variation

La fonction exponentielle de base a est :

• croissante si a > 1

• décroissante si a < 1

• (et constante si a = 1, mais la valeur a = 1 est interdite par définition).

Théorème 2 : signe

La fonction exponentielle de base a est strictement positive pour toutes valeurs de x.

(4)

1 2 3 4 5 6 7

− 1 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

3.5 x 0.1 x

Théorème 3 : Propriétés algébriques

Les propriétés vraies pour puissances entières restent vraies pour les puissances réelles. À savoir : Pour tout réel x et y, on a :

• a x × a y = a x+y

• 1

a x = a x

• a x

a y = a x y

• a x y = a x × y

1.3.

La fontion exponentielle de base e

Définition 2 : Fonction exponentielle de base

e

Parmi toutes les fonctions exponentielles, il en existe une qui est égale à sa dérivée, c’est celle qui correspond à la base

e

≃ 2, 71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696 7627724076630353547594571382178525166427.

Ce nombre est de même nature que π, c’est à dire qu’il n’a pas d’écriture décimale exacte.

Cette valeur particulière de la base se note traditionnellement

e

. On note donc f (x) =

e

x .

Remarques :

Dans la suite, sauf indiation ontraire, si on ne préise pas la base de la fontion

exponentielle, 'est qu'ils'agit de elle de base e.

La fontionexponentielle de base eorrespond àla touhe

e x

de laalulatrie.

De l'étude des fontions exponentielles de base

a

, de la formule générale de la dérivée

d'une fontions omposée, on déduitque :

(5)

Théorème 4 : Propriétés de la fonction exponentielle

e

x ×

e

y =

e

x+y

• 1

e

x =

e

x

e

x

e

y =

e

x y

e

x y =

e

x × y

e

x est strictement croissante sur

R

.

e

x est strictement positive sur

R

• lim

x 7→−∞

e

x = 0 et lim

x 7→ + ∞

e

x = + ∞

• (

e

x ) =

e

x et

e

u(x)

= u (x) ×

e

u(x)

1 2 3 4 5 6 7

− 1 1 2 3 4 5

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

e

x

Théorème 5 : Croissance comparée

La fonction exponentielle l’emporte en ±∞ sur toute fonction polynôme, c’est à dire : Pour tout entier α strictement positif

x 7→−∞ lim x α

e

x = 0

et

lim

x 7→ + ∞

e

x

x α = + ∞ Les autres limites ne sont pas indéterminées.

Exeriesur he: 5-6

Exeriesur lelivre:

dérivées14-18p283;46-50 p287

primitives19-22p283;51-58 p287

limites9-13p283;43-45p287

2.

Fontion exponentielle et nombres omplexes

2.1.

Notation exponentielle d'un nombre omplexe

Remarque : Lespropriétés des fontions exponentielles permettent d'érire

k

e

x × k

e

x = kk

e

x+x

(6)

Ainsi, on multiplie les parties non exponentielle et on additionne les exposants. Cette

similitudeave lespropriétés des moduleset argumentsdes nombres omplexes amènent

à ladénition :

Définition 3 : Notation exponentielle d’un nombre complexe.

Soit z un nombre complexe.

La notation exponentielle de z est z = r

e

où r est le module de z, θ est l’argument de z,

et

e

est le nombre tel que ln(e) = 1.

Exemple : Le nombre omplexede module 2et d'argument

π

3

est noté

2

ei

π 3

.

Sa formealgébriqueest

z = 2(cos π 3 +

i

π 3 ) = 1 +

i

√ 3

.

Remarque: Ilnefautpasonfondrelafontionexponentielle

e x

quinesealulequepour

tout réel

x

et lanotationexponentielle e i

θ

quiest àvaleuromplexe.

Exeriesur he: 1-2

Exeriesurlelivre: 12-17-18p35;70-71 p36-42

Théorème 6 :

Les propriétés sur les modules et les arguments des nombres complexes se traduisent par :

r

ei

θ × r

ei

θ = r × r e i(θ+θ ) r

ei

θ r

ei

θ = r

r e i(θ θ ) (r

ei

θ ) n = r n e inθ

2.2. Eaités de la notation

Lanotationexponentiellepermetdealulerplusfailementdes produitsoudesquotients

de nombres omplexes.

Exerie résolu 1 :

Soit

z = 3

ei

4

et

z = 7

ei

3

. Caluler

zz

et

z z

.

Solution :

zz = 3 × 7 e i( 4 + 3 ) = 21

ei

12 π

.

z

z = 3 7 e i( 4 3 ) = 3 7

ei

17π 12

.

Exeriesur he: 3-4

Exeriesurlelivre: 60p41

La notation exponentielle permet de aluler plus failement des puissanes de nombres

omplexes.

Exerie résolu 2 :

Caluler

(1 + i) 8

Solution :

(1 + i ) 8 = ( √

2

ei

π 4 ) 8 = √

2 8

ei

4 = 16 e i2π = 16

(7)

Exeriesurhe: 5-6-7

Lanotationexponentiellepermetd'obtenir(entreautre)lesformulesd'additiondetrigonométrie:

Théorème 7 : Formules trigonométriques

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b sin(a + b) = cos a sin b + cos b sin a

Preuve.

D'une part,

e i(a+b) = cos(a + b) + i sin(a + b)

.

D'autre part,

e i(a+b) = e ia × e ib

= (cos a + i sin a)(cos b + i sin b)

= cos a cos b − sin a sin b + i(cos a sin b + cos b sin a)

Par identiation despartiesréelles etimaginaires, on retrouve lesformulesd'addition :

cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b

et

sin(a + b) = cos a sin b + cos b sin a

Exeriesurhe: 8

Exerie résolu 3 :

En remarquantque

π

12 = π 3 + 4 π

, donnerles valeurs exates de

cos( 12 π )

et

sin( 12 π )

Solution :

cos( 12 π ) = cos( π 3 + 4 π ) = cos( π 3 ) cos( 4 π ) − sin( π 3 ) sin( 4 π ) = 1 2 × 2 2 2 3 ×

− √ 2

2 = 4 2 × 4 6 = 6+ 4 2

.

On montre de lamême manièreque

cos( 12 π ) = 6 4 2

.

2.3.

Appliations

Théorème 8 : Formule de Moivre (cos θ + i sin θ) n = cos nθ + i sin nθ.

Preuve.

(cos θ+

i sin θ) n = (e ) n = e inθ = cos nθ + i sin nθ

Exeriesurhe: 10

etteformuleestàlabasedelaméthodepermettantd'exprimer

cos nθ

et

sin nθ

enfontion

de

cos θ

et

sin θ

.

Exerie résolu 4 :

Exprimer

cos 3θ

et

sin 3θ

en fontion de

cos θ

et

sin θ

.

Solution :

D'une part ,d'après laformulede Moivre,

(cos θ + i sin θ) 3 = cos(3θ) + i sin(3θ)

.

D'autre part, la formule

(a + b) 3 = a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3

donne:

(cos θ + i sin θ) 3 = cos 3 θ + 3 cos 2 i sin θ + 3cosθ(i sin θ) 2 + 3(i sin θ) 3 = cos 3 θ − 3 cos θ sin 2 θ + i (3 cos 2 θ sin θ − sin 3 θ )

Paridentiationdes parties réelles etimaginaires, ondéduit :

cos 3θ = cos 3 θ − 3 cos θ sin 2 θ = 4 cos 4 θ − 3 cos θ

et

sin 3θ = 3 cos 2 θ sin θ − sin 3 θ

.

(8)

Théorème 9 : Formule d’Euler

cos θ =

ei

θ + 2

ei

−θ et sin θ =

ei

θ 2

ei

−θ .

Preuve.

e i

θ +

ei

2 cos θ+isinθ+cos( − θ)+i sin( − θ)

2 = cos θ+isinθ+cos θ − i sinθ

2 = 2 cos 2 θ = cos θ

Exeriesurhe: 9

Définition 4 : Linéarisation

Linéariser une expression trigonométrique, c’est trouver une expression du premier degré qui lui soit égale.

Les

formules d'Eulersont àla basede laméthode permettantde linéariser

cos n θ

(ou

sin n θ

).

Exerie résolu 5 :

Linéariser

cos 4 θ

.

Solution : A l'aide de la relation

(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

et de la

formule d'Euler,onérit

cos 4 θ = (

ei

θ + 2

e

i

θ ) 4

= (

ei

θ ) 4 +4(

ei

θ ) 3

e

i

θ +6(

ei

θ ) 2 16 (

e

i

θ ) 2 +4

ei

θ (

e

i

θ ) 3 +(

e

i

θ ) 4

=

ei

+4

ei

+6+4 16

e

i

+

e

i

= (

ei

+

e

i

)+4( 16

ei

+

e

i

)+6

= 2 cos 4θ+4 cos 2θ+6

= cos4θ 8 + 16 cos2θ 2 + 3 8

Exeriesurhe: 11-12

Exeriesurlelivre: 19-20p36et73-74p43

2.4.

Complexe et transformation

Théorème 10 (admis) : Notation complexe d’une translation

Soit u un vecteur du plan d’affixe b.L’application qui a tout point M d’affixe z, fait correspondre le point M’, d’affixe z telle que z = z + b est la translation de vecteur u

Théorème 11 (admis) : Notation complexe d’une rotation

L’application qui a tout point M d’affixe z, fait correspondre le point M’, d’affixe z telle que z =

ei

θ × z est la rotation de centre O et d’angle θ.

Exeriesurhe: 13-14-15-16

Exeriesurlelivre: 24-27-28-29p37

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