Etude de fonctions exponentielle + ln + intégrale + suite

(1)

(2)

I) 1°) Soit g x( ) (1 2 )x e^x 1 ,x  .

a- Etudier les variations de g et calculer g(0). b- En déduire le signe de g x( ) pour tout x  .

2°) Soit f x( )x e( ^x 1) ,² x  .On désigne par _f la courbe de f dans un repère orthonormé ( , , )O i j (unité 2cm ) .

a- Montrer que pour tout x  ,on a f: '( )x (e^x 1) ( )g x b- Dresser le tableau de variation de f .

c- Montrer que f est une bijection de sur .

d- Montrer que la droite :y x est une asymptote à _f au voisinage de . e- Etudier la position relative de _f par rapport à la droite  .

f- Construire dans le repère ( , , )O i j les courbes f etf1 et la droite  .

3°) Soit A l’aire du domaine plan limité par les courbes f et f1 et les droites d’équations

0 ln 2

x  et x  . Calculer , en cm², A .

Exercices ) 3

(2 sciences année

4

ème

Etude de fonctions

exponentielle + ln + intégrale + suite

Révision (1) Bac 2017

Exercice N°2 : Exercice N°1 :

IR

IR IR

IR

IR IR

(3)

II) Soit la suite ¹ ^*

0 ⁿ( ^x 1) ,

In 



x e  dx n ^. 1°) Calculer I₁ .

2°) Montrer que la suite (I_n) est décroissante .

3°) Montrer que pour tout ^* , : 0 ¹

n 1

n on a I e

n

   

 . 4°) Calculer lim _n

n

I



.

Soit g la fonction définie sur IR par ^{g x}

  

^{ }^{x 1}



^e^^x ^¹dont la représentation graphique est donnée dans l’annexe 1( page 4 sur 4)

1) Déterminer graphiquement le signe de g(x) pour xIR 2) Montrer que  x  ] – 1 , + [ ; ^x ¹

e^  x 1



3) Soit la fonction f définie sur ] –1 , + [ par :f(x) = ^{ln x 1}



^



^^e ^^x

a) Etudier les variations de f

b) Montrer qu’il existe un seul réel  tel que f()= 0 et vérifier que – 1< < –0,8

c) Calculer f(0) et tracer C f dans un repère orthonormé



^{O,i , j}



(unité 4 cm) 4) a) Montrer que f est une bijection de ] –1 , + [ sur

b) f ^¹est-elle dérivable en 1 c) Tracer C f–1 dans le même repère 5) Soit J= _⁰f(x)dx

a) A l’aide d’une intégration par partie Montrer que

0ln(1 x )dx ln(1 )( 1)

       



b) Soit A l’aire en cm²de la partie du plan limitée par la courbe Cf , l’axe des abscisses les droites d’équations respectives x=et x=0 .

Montrer que A = 16 – 16 +16 (  + 2)e^

6) Soit u le suite définie sur IN par n 0n

u 



f(x)dx

a) Interpréter géométriquement u₁ b) Montrer que la suite u est croissante c) Montrer que pour tout n IN u_nn et en déduire la limite de u_n

Exercice N°3 :

* IN

IR

(4)

Soit f la fonction définie sur IR par

x x

3 e 1 f(x) e 2

 

 et C sa représentation graphique dans le plan muni d’un repère orthonormé (O; ^i ; ^j ) unité : _i _ _j =2 cm

Partie A

1) Montrer que pour tout réel x on a

 

x x 2

f '(x) 7 e

e 2





et Dresser le tableau de variation de f

2) a)Montrer que I _{Log 2 ;} ⁵ 4

 

 

 est un point d’inflexion b) Vérifier que I est un centre de symétrie de C

3) On considère la fonction g définie sur IR par g(x)= f(x) –x

a) Verifier que pour tout reel x : e^2x3e^x 4 0(Indiction:On pose t=

e

^x) b) Etudier les variations de g

c) En deduire que l’équation f(x) =x admet une unique solution  dans IR et vérifier que  



^2,5;2,6



d) Montrer que pour tout x ] –  , ] ;f(x)  x . Endeduire la position de C par rapport à la droite  d’équation y = x

Partie B

1) Montrer que f réalise une bijection de IR sur J que l’on précisera.

2) Déterminer l’intersection de C avec l’axe des abscisses

3) Tracer  , C et C’ où C’ courbe représentative de la fonction f^¹dans (O; ^i ; ^j ) 4) Montrer que pour tout x 1, 3

2

  

 

 ^;

 

^f^¹

^{ }

^x ^^Log^^_^{2x 1}_{3 x}_^ ^^_

5) a)Montrer que pour tout réel x on a :f(x) =

x x

7 e 1

2 e 2 2

 

  

  

 

b) Montrer que ₀ f(x)dx ⁷Log ^e ² ¹

2 3 2

       

 

 



c) Calculer en fonction de , A l’aire de la partie du plan limitée par la courbe C , l’axe des ordonnées ,la droite  et la droite d’équation x= 

Partie C

Soit u la suite définie par :

0

 

n 1 n

u 0

u _ f u ,n

 

  



1) Montrer par récurrence que pour tout n  IN ,u_n  (indiction : utiliser les variations de f ) 2) Montrer que u est une suite croissante (indication : utiliser la question partie A 3) d) )En déduire

que la suite u est convergente et calculer sa limite Exercice N°4 :

IN

(5)

A- On considère la fonction g définie par g

 

x e¹^^x.

Etudier et tracer la courbe

 

 de la fonction g dans le repère

 

^O^,ⁱ^,^j ^.

B- Soit f la fonction définie surIR parf

 

x xe¹^^x.

1) On désigne par

 

' la courbe de f dans le même repère

 

^O^,ⁱ^,^j ^.

a- Dresser le tableau de variation de f .

b- Déterminer la nature des branches infinies de

 

' . c- Etudier la position relative de

 

 et

 

' .

d- Tracer la courbe def .

2) Soit xun réel de



1,



, M est le point de

 

 d’abscissex et N est le point de

 

' d’abscissex. a- Calculer la distanceMN en fonction dex.

b- Déterminer la valeur dex pour laquelle MNest maximale.

3) Soitt un réel de



¹^,^



^.

a- Calculer, en fonction det, l’aireA

 

t de la partie du plan limitée par les courbes

 

 et

 

' et les droites d’équationsx1 etxt.

b- Déterminer ^A

 

^t

tlim .

C- Soitu la suite définie sur IR^*par ^



1²



^



^

1 e1 dx x

u_n ⁿ ^x .

1) a-Calculer u₁.

b-Montrer queu est décroissante et qu’elle est convergente.

2) a-En intégrant par parties, montrer que u_n



n 1



u_n 2

1

1  

 .

b-En déduire que nIN^*,

u_n ne1 . Calculer alorslimu_n. c-Calculer ^

_

²



^ ^



^

1

1 2

3 3x 2e dx

x

I ^x .

3) Soit Fdéfinie surIR_^* par^F

 

^x ^



1¹^²^ln^x

 

^t^ ⁿ^e ^^t^dt

1 1 .

a- Montrer que Fest dérivable surIR^*_ et que

   

3

1 ln

2 '

x x x

F

n

n

 .

b- En déduire quexIR_^*,

   





 ⁿ ^x ⁿdt t x t

F 1 3

1 ln

2 .Calculer alors

 



1 ^e _t3^t ^dt

ln 4

.

Soit f la fonction définie par f (x) =



x x

e

e x , on désigne par C la courbe de f dans un repère orthonormé 1) a) Montrer que :  x on a : e^x – x ≥ 1 et t 0 on a : t – ln t ≥ 1

b) Vérifier alors que f est définie sur IR

c) Etudier les variations de f, en déduire que  x 0 on a : 1 ≤ f (x) ≤ 1 e

e puis tracer la courbe C 2) Soit F la fonction définie sur [1, + ∞ [ par F (x) = ^{ln ( )}

0 ( )



^x ^{f t dt}

a) Montrer que:  x 1 on a : ln x ≤ F (x) ≤ ( 1 e

e ) ln x Exercice N°6 :

Exercice N°5 :

IR

(6)

b) En déduire : lim

xF (x) et lim ^{( )}

x

F x

 x

c) Montrer que F est dérivable sur [1, + ∞ [ et que  x 1 on a :

 

x x x

F ln

' 1

  d) En déduire que :  x 1 on a : ^F

 

^x ^



1^x_t_^dtln_t

e) Soit (Г) la courbe de F dans un autre repère orthonormé

Ecrire une équation de la demi tangente (T) à (Г) au point d’abscisse 1, puis étudier la Position de (T) et (Г)

Soit la fonction h définie sur



0,



, par 



 



   x x x

h 1

ln )

( .

1-/ a) Montrer que h est strictement décroissante



0,



.

b) Montrer que h admet une réciproque g définie sur



0,



et pour tout x0 ,

1 ) 1

(  

ex x

g .

c) Montrer que l’équation g(x)x admet dans



0,



une solution unique  et que : ln2 1. 2-/ Soit la fonction f définie surIR^*, par

1 ) 1

(   

ex x x

f .

Soit (_f) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

a) Dresser le tableau de variation de f .

b) Montrer que la courbe (_f) admet deux asymptotes obliques D et D’ d’équations respectives yx et yx1

c) Montrer que 



 



 2 ,1 0

I est un centre de symétrie pour la courbe (_f).

d)  étant le réel définie au 1-/c), montrer que f'()1² et écrire une équation de la tangente ( T ) à (_f) au point A d’abscisse .

e) Tracer D, D’ ,( T ) et (_f ). ( on prendra 0,8 ).

3-/ a) Montrer que la fonction ^F ^x ^x ^^ln



¹^^e^^x



: 2

2

 est une primitive de f sur



0,



. b) Préciser le signe de f(x) sur



0,



et dresser le tableau de variation de F.

c) chercher

x x F x

) lim (



 et donner l’allure de la courbe () de la fonction F. ( nouvelle figure) Exercice N°7:

(7)

Bac Principale 2017 Exercice N°8:

(8)

Soit la fonction h définie sur



0,



, par













 1 ) 0 (

ln 1 ) ( h

x x x

h .

1-/ a) Montrer que h est continue sur



0,



. Exercice N°9 :

Exercice N°10 :

(9)

b) Montrer que pour x0 ,

x e x

h 1

ln ln ) (

'   .

c) Dresser le tableau de variation de h .

2-/ a) Montrer que l’équation h(x)0 admet dans



0,



une solution unique  et que : 12. b) Déduire de ce qui précède que : h(x)0 si et seulement si x.

3-/ Soit la fonction f définie surIR, par

1 )

( 

  x x e

x x e

f .

a) Montrer que pour tout xIR, on a :

 

¹²

) ( '



 x

x

e e x h

f .

b) Montrer en utilisant 2-/ b), que f'(x)0 si et seulement si xln. c) Donner un encadrement de ln et montrer que

 



  1 ¹

ln 1  



 Log

f .

d) Dresser le tableau de variation de f .

4-/ a) Montrer que la courbe (_f) admet au voisinage de ()une asymptote oblique D d’équation yx. b) Etudier la position de la courbe (_f) par rapport à la droite D.

c) Tracer dans un repère orthonormé, la droite D et la courbe (_f). ( on prendra 1,5 ). ( unité 2cm)

Partie A :

1. Démontrer que pour tout réel x, e^x x1. 2. En déduire que pour tout réel t0, t 1lnt.

3. Prouver en utilisant les deux inégalités précédentes, que x0,e^x lnx10. Partie B :

On considère la fonction f définie sur l’intervalle

 ⁰ ^, ^ 

^{par :}^f⁽^x⁾^



¹^^e^^x



^.^ln^x^.

On note (C ) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( , , )



j i

O d’unité

graphique 2 cm.

1. a) Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.

b) Justifier que f est dérivable sur



0,



et calculer f'(x).

Prouver que pour tout réel x0, f'(x)est du signe de :e^x 1xlnx. 2. Soit h la fonction définie sur



0,



par :













 2 ) 0 (

0 si ln 1 )

( h

x x x e

x

h ^x

a) h est-elle continue en zéro ?

b) Étudier le sens de variations de h.

c) En déduire le signe de h(x)pour x0.

3. Déduire des questions précédentes, le tableau de variations de f .

4. a) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe (C ) au point d’abscisse 1.

b) Tracer la droite T et la courbe (C ).

5. On définit la suite

 

Un _n__IN^* par Un ^



nⁿ^¹ f⁽x⁾dx. a) Donner une interprétation géométrique de U_n.

b) Montrer que pour tout entier naturel n non nul, f(n)U_n  f(n1). c) En déduire le sens de variation de la suite

 

U_n _n__IN^*.

d) La suite

 

U_n _n__IN^*est-elle convergente ? Exercice N°11 :

(10)

Partie C :

On considère la fonction F définie sur



0,



par : ^F(^x)^



1^x ^f (^t) ^dt. 1. Étudier le sens de variations de la fonction F.

2. Quel est le signe de F(x) suivant les valeurs de x ?

3. a) Démontrer que pour tout réel x1,^F(^x)^



1^x^Log(^t) ^dt . b) En déduire la limite de F en +∞.

Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( , , )



j i

O . L’unité graphique est 3cm.

A . Étude de f :

On considère la fonction f définie sur



0;



par : f(x)ln(e^x e^^x) et on désigne par C sa courbe représentative dans le repère ( , , )



j i

O .

1. a) Déterminer la limite de f en + .

b) Démontrer que, pour tout x de l’intervalle



0;



, on a f(x)xln(1e^^2x) c) En déduire que la courbe C admet comme asymptote la droite D d’équation y = x.

d) Étudier la position de la courbe C par rapport à son asymptote D.

2. a) Montrer que f est dérivable sur



⁰^;^



^{et que}

1 ) 1

(

' ₂

2



 _x^x  e x e f b) Dresser le tableau de variation de f.

c) Construire la courbe C et l’asymptote D.

B. Réciproque de f :

1. a) Montrer que f réalise une bijection de



⁰^;^



^sur^[^ln²^,^^^[^.

b) On note f ^¹ la réciproque de f. Dresser le tableau de variation de f^¹. c) Vérifier que le point 



 





2 ln5

; 2 ln

A appartient à la courbe C . Puis calculer

 

⁾

2 (ln5

1 ' f 

2. Montrer que pour tout réel x de [ln2 ,[, 









  





2 ln 4

) (

2 1

x

x e

f .

C. Intégrales liées à f :

Pour tout x de l’intervalle



0;



on pose F(x) ^x ln(1 e ^t) dt

0



^ ^2

 . (On ne cherchera pas à calculer F(x)).

1. Soit a un réel positif. En utilisant la partie A, donner une interprétation géométrique de F(a).

2. Étudier le sens de variation de F sur l’intervalle



⁰^;^



3. Soit a un réel strictement positif.

Démontrez que, pour tout t de

 

⁰^;^a ^: ¹

1 1 1

1 

 

a t . En déduire que



^a



^a

a

a   

 ln1

1 .

4. Soit x un réel positif. Déduire de la question ( 3.) : dt F x e dt e

e ^x t

x

t t

) ( 1

0

2

0 2

2



_^^ ^ ^ ^ ^puis



^e ²^x



^F ^x ^e ²^x

2 1 2 ) 1 ( 1

2ln 2 1 2ln

1   _    _

5. On admet que la limite de F(x), lorsque x tend vers + , existe et est un nombre réel noté L.

Établir que :

2 2 1

2ln

1 L 

Exercice N°12:

(11)

6. Pour tout entier naturel n, on poseU ⁿ e dt

n

t n ^



^¹ ln(1^ ^² ) ^

a) On considère la fonction h définie sur [ 0 ; + [ par h(t)ln(1e^^2t)Étudier le sens de variation de h.

b) Démontrer que pour tout naturel n : 0U_n ln(1e^²ⁿ) c) Déterminer la limite de (U_n) lorsque n tend vers + .

7. Pour tout naturel n on pose



^



 ¹

0 n

i i

n U

S



. Exprimer S_nà l’aide de F et de n.

La suite (S_n ) est –elle convergente ? Dans l’affirmative, quelle est sa limite ?

La courbe de la fonction f admet comme :

 D :x=0 une asymptote verticale

 Test la tangente à C^f au point d’abscisse 1

 C^f admet au voisinage de



une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées A)

1) Par une lecture graphique calculer

a)

 

x 0lim f x

 

, _x^{lim f x}_{ }

 

^,

^{ }

x

lim f x x



b) Calculer

f '(1)

puis écrire l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse1

c) Etudier la position relative de C^f par rapport à T

2) On suppose que ^{f x}

 

^^x² ^^{2 ln(x)}

a) Dresser le tableau de variation de f

b) Montrer que l’équation f(x)=0 admet dans



^{0 ,}^{ }



une unique solution



c) Vérifier que ¹ ₁ 2   3)

a) Calculer ^e

I



1 ln(x)dx

b) En déduire l’aire de la région du plan limité par C^f , l’axe des abscisses et les droites d’équations x=1 et x=e

B) Soit g la fonction définie sur par ^{g x}

 

^^e^¹²^x²

1) Montrer que ^f

 

^{ }⁰ ^^g

 

^{  }

2)

a) Montrer que g est dérivable sur et pour tout réel x ; ^{g ' x}

 

^{ }^xe^¹²^x²

b) Dresser le tableau de variation de la fonction g c) Montrer que pour tout _x ¹_,1

2

 

  , ^{g ' x}

 

^₁₀⁹

IR

(12)

d) Montrer en utilisant l’inégalité des accroissement finis que pour tout _x ¹_,1 2

 

  ,

 

⁹

g x x

  10  

3) Soit u la suite définie sur par

0

 

n 1 n

u 1

u

_

g u

 

 



a) Montrer que pour tout entier naturel n ,

1 u

_n

1 2  

b) Montrer que pour tout entier naturel n , u_{n 1} 9 u_n

   10   c) Montrer que pour tout entier naturel n ,

n

n 9

u 1

10

 

      puis calculer _n

nlim u

  

On considère la suite réelle (u_n)définie sur par :

0

1

6

1 3

n 4 n

u

u _ u

 

  



1)a) Montrer par récurrence que , pour tout entier naturel n, on a u_n 4 b) Montrer que la suite (u )_n est décroissante.

c) En déduire que la suite (u )_n est convergente et calculer sa limite 2) soit (w )_n la suite réelle définie sur par w_nln(u_n4)

a) Montrer que (w )_n est une suite arithmétique de raison -2ln2.

b) vérifier que pour tout entier naturel n, on a w_n=(1-2n)ln2 c) Calculer u_n en fonction de n

d) Déterminer la plus petite valeur de n telle que u_n 42.10^⁴

On Considère la suite

 

un définie sur IN par : ^u^un



^e^uⁿ



ⁿ ^IN

 









pour tout

; 1

ln 0

1

0 .

I – 1-/ Calculer

u

₁,

u

₂ et

u

₃.

2-/ Montrer, par récurrence, que pour tout nIN,

u

_n

 0

. 3-/ a) Montrer, que pour tout nIN,un_₁ un ln



1e^^uⁿ



. b) En déduire la monotonie de la suite

u

^.

II – 1-/ Montrer, par récurrence, que pour tout nIN, u_n ln



n1



. 2-/ a) Déterminer _n

n u



lim . Que peut –on déduire de la convergence de la suite u. b) Déterminer la plus petite valeur

n

₀ pour que :

u

_n

 2

. ( n₀IN )

3-/ Soit la suite

 

v_n définie sur IN par : 



 





 

 2 1

ln 1 u n

v_n _n . Déterminer _n

n v



lim . Exercice N°15 :

IN

IN IN

(13)

Soit la fonction f définie par

 

^x_x

e x e

f  

1

2

et soit sa courbe relativement à un repère orthonormé

 

^O^,ⁱ^,^j ^.

A/ 1) Dresser le tableau de variation de f puis construire sa courbe . 2) a-Montrer que f est une bijection deIR surIR_^*.

b-Expliciter f^¹

 

x pourx0 et construire sa courbe'. 3) a-Vérifier que pour tout réelx, on a

 

^x ^x_x

e e e

x

f   

1 .

b-Soit0. Calculer l’aireA_ du domaine plan limité par la courbe', l’axe des ordonnées et les droites d’équations respectivesy ety0.

B/ Pour toutnIN^* et pour tout réelx0 , on pose

 

dt e x e

F x t

nt n ^



⁰₁_ ^.

1) a- Calculer F₁

 

x et en déduire que lim ₁

 

ln2



 F x

x .

b- Calculer F

 

x

xlim 2



 .

2) Montrer que nIN^*, on a n

 

n

  

e^nx



x n F x

F _  1 1

1 .

3) a- Vérifier que pour tout réel t0, 2e^t 1e^t 2.

b- Montrer que pour tout entier n2et pour tout réelx0on a



nx



n

_{   } 

^ⁿ ^^x



n e x F n e

1 1

1 2 1 1

2

1 _

 



 c- En déduire un encadrement de R F_n

 

x

n xlim pour n2 .

Soit n un entier naturel non nul . f_nla fonction définie sur



⁰^,^



^par

^{  } _{ } ^













 0 0

0 si ln 1

n

n n

f

x x x

x f

On note

 

_n la courbe représentative def_n dans un repère orthonormé

 

^O^,ⁱ^,^j ^.

On a représenté les courbes et ' 1) a- Déterminer f

 

x

xlim 1



 et f

 

x

xlim 2





b- Identifier chacune des courbes

 

₁ et

 

₂ parmi les courbes représentées et '. c- Etudier la position relative de

 

₁ et

 

₂

2) Pour tout entier n1, on pose u

1

( )

e

n



fn x dx

a) Vérifier que la fonction 



 

 

 2

ln 4

2 3 x

x

x est une

primitive de f₁ sur



0,



puis Calculer u₁.

b) En utilisant une intégration par parties ; montrer que

1

n ;on a _n n u_n

u 



 



 



 

2 1 2

1

c) En déduire l’aire du domaine délimité par les courbes

 

₁ et

 

₂ et les droites d’équationsx1et

e x



'

(14)

3) Soit F la fonction définie sur



,0



par

   



_



1 2 1

x1

e

dt t

t x f

F

a) Montrer que F est dérivable sur



,0



et que

   

x x

e e x x

F 2

2

1 ' 1



 

b) En déduire le sens de variation de Fsur



,0



c) Montrer que ^x^



^^^,⁰



^;

  

^

 

^ _ 2



¹ ¹

 

1

1 1

1 2

1

x

x e

dt t f e x

F dt t f d) Calculer

e) On suppose que F admet une limite finie L quand x tend vers  ; Montrer que

4 3 8

3 L

Soit la fonction f définie sur



^0,^



^{par :}^^

^{ }

^ ^

 

(ln )2

x si x 0

(0) 0 f e x

f

sa représentation graphique (C) admet une demi tangente à droite horizontale en O(0,0).

L’axe des abscisses est une asymptote à (C) 1°) a- Déterminer à partir du graphique

lim ( )

x f x et _

0

lim ( )

x

f x x b- Montrer que f ’(x)= -2g(x) f(x) pour tout x 0où g une fonction définie sur



^0,^



que l’on précisera.

c-Montrer que pour tout x ^{ }



^1,



^,^{g x}^{( )} ^¹

e ,(On pourra étudier les variations de g sur



^1,^



⁾

d- Déduire que pour tout x, x’ dans



^1,^



^, ^{f x}^{( )}^^{f x}^{( ')} ^² ^{x x}^ ^'

e 2°) On considère la fonction F définie sur



^0,^



^{par :}^^ ^

 





1

1 ( )

( ) , 0

(0) 1

ex f t

F x dt x

x t

F a- Justifier que la fonction H :x



1

( )

ex f t

t dtest dérivable sur



^0,^



et que H’(x)=e^^x²pour ^x^{ }



^0,



En déduire que, pour tout 



0 ^²

0, ( ) 1 ^x ^u

x F x e du

x

b- pour x 0 vérifier que pour tout u [0, ]x ,e^^x² e^^u² 1, Déduire que x^{ }



^0,



^,^{F x}^{( )}^^F^{(0) 1}^{ }^e^^x²

c- Déduire que F est continue à droite en 0 et dérivable a droite en 0 . d- Montrer que F’(x)=

 

2 ( )

e x F x

x x , pour tout x^{ }



^0,



e-Montrer en utilisant la relation de Chasles que pour tout x^{ }



^1,



^,F(x)^ ^



1 ^

1(1 ^xe dt^t )

x ,

Déduire

lim ( )

x F x



¹ ¹ 

ex

dt t f

(15)

1) Soit gla fonction définie sur



¹^,^



^par^g

 

^x ^ ^x^ln^x^.

a- Dresser le tableau de variation deg.

b- Montrer que l’équationg

 

x 1 admet dans



¹^,^



une unique solution . Donner un encadrement de d’amplitude10^¹.

2) Soit f la fonction définie sur



¹^,^



^par^f

 

^x ^ ^x^ ^ln^x^et fsa courbe représentative dans un repère orthonormé

 

^O^,ⁱ^,^j ^.

a- Etudier la dérivabilité de f à droite de1. Interpréter graphiquement le résultat.

b- Dresser la tableau de variation de f . IR

IR

IR Exercice N°19 :

Exercice N°20:

(16)

3) L’annexe représente les courbes représentatives₁,₂ et ₃respectives des fonctions : x x, x

x ln etx2 lnx.

a- Placer dans l’annexe , les points d’intersection de  _f et₂. b- Tracer la courbe _f .

4) Placer les points M etN de₁ et₂ de même abscisse pour lesquels la distanceMN est minimale.

5) On désigne parA l’aire de la partie du plan limitée par _f,₂et les droites x aetxb. '

A est l’aire de la partie du plan limitée par₁,₃ et les droites xaetxb. ComparerA etA'.

On considère la fonction f définie sur IR par ^{f x}

 

^^ln



^e^x^²^e^^x



^.

La courbe (C) représentative de la fonction f dans un repère orthonormé est donnée ci-dessous.

Étude de La fonction f

1) a. Montrer que, pour tout réel x, ^{f x}

 

^{ }^x ^{ln 1 2}



^ ^e^²^x



^.

b. Calculer ^lim

 

x f x

 et montrer que la droite (d) d'équation y = x est asymptote à (C).

c. Étudier la position relative de (C) et de (d).

d. Montrer que la droite d’équation 2

2

 ln

x est un axe de symétrie de (C) 2 ) a. Calculer f x'( )et vérifier que pour tout réel x ,

 

2 ' 2

2 2



 

x x

e x e

f .

b. Dresser le tableau des variations de la fonction f.

3) Soit g la restriction de f à l’intervalle



 ,

2 2

ln .

a. Montrer que g réalise une bijection de _^ ,_^ 2

2

ln sur ³ln 2, 2

 

 

 .

b. On appelle g^¹la fonction réciproque de g. Construire (C’) la courbe de g^¹dans le même repère de (C).

1

2

3

Exercice N°21:

(17)

Encadrement d'une intégrale 4) On pose _{ln 2}

 

2 n

In



 f x x dx ^,^n^IN^*

a. Les variations de la fonction g sur



^0,^



définie par

 

x



x



x

g ln1  sont donnée dans le tableau ci-contre Déduire que pour tout réel x , ^{ln 1 2}



^ ^e^²^x



^²^e^²^x

b. Montrer alors que 1

0Iⁿ 2 pour tout nIN*

On considère la fonction définie sur



⁰^,^



^par ^f

^{ }

^x ^^e^ ^x et on désigne par

 

 sa courbe représentative dans un repère orthonormé

 

^O^,ⁱ^,^j .(on prendre 2cmpour unité graphique)

1) a-Etudier la dérivabilité de f à droite en0. Interpréter graphiquement le résultat.

b-Dresser le tableau de variation de f . c-Construire

 

 ^.

2) Soit Fla fonction définie sur



0,



par

 

^



0²

 

x f t dt x

F .

a- Montrer queFest dérivable sur



0,



et calculerF'

 

x . b- En déduire que pour toutx



0,



,^F

 

^x ^



0^x2^te^^t^dt.

3) Soit un réel strictement positif. On désigne par A

 

 l’aire en cm²de la partie du plan limitée par

 

 , l’axe des abscisses et les droites d’équations x0etx.

a- A l’aide d’une intégration par parties , calculer



0^2te^^tdt. b- Calculer alors A

 

 et

 



 A



lim .

x 0 g’(x)

g (x) 0

2 2

ln x









Exercice N°22:

(18)

Exercice N°23:

(19)

(20)

Pour chacune des phrases ci-dessous, une seule des trois propositions est exacte. Cocher la bonne réponse, aucune justification n’est demandée.

1) On considère l’équation différentielle (E) : y"4y0. Une solution de (E) est la fonction définie sur IR par :

f

 

x e^⁴^x f

 

x cos

 

4x f

 

x cos

 

2x 2) On considère l'équation différentielle (E) : ' 2y y e^x.On appelle f la solution de (E) qui s'annule en 0.

a) f ’ (0)= -1 f ’ (0)= 0 f ’ (0)= 1 b) pour tout xIR, ^{f x}

 

^

2



0^xf

 

t dte^x 2

 

1

0  



^x^f ^t^dt ^e^x e^x1

On considère l’équation différentielle

 

: ' ₂ x y e y E

 x



 et on cherche l’ensemble des solutions de cette équation définies sur



⁰^;^



^.

1) a – Démontrer que la fonction u définie sur



0;



par

 

x x e u

 x est solution de (E).

b – Démontrer qu’une fonction v définie sur



⁰^;^



est solution de (E) si et seulement si la fonction : vu, définie sur



⁰^;^



, est solution de l’équation différentielley'y 0.

c – En déduire toutes les solutions définies sur



⁰^;^



de l’équation (E).

1) Soit f la fonction définie sur



0,



par f

 

x xe ²^x

1

2

1 ^

 .

a- Justifier que pour tout x



0,



,

 





 

 

 e^ x

x f

x

2 1 1 2

' 1 ²

1

. b- Dresser le tableau de variation de f sur



0,



c- à laide d’une intégration par parties , Calculer I

 

^ ^



0^ f

 

x dx ,où 0 puis calculer

 



 I



lim

2 ) On fait absorber à un animal un médicament dosé à 1 mg de principe actif. Ce médicament libère peu à peu le principe actif qui passe dans le sang.

On appelleg

 

t la quantité de principe actif, exprimée en mg, présente dans le sang à l’instant t exprimé en heures (t > 0).

On constate expérimentalement que la fonction g est solution de l’équation différentielle

 

^E ^y ^y ^e ²¹^t

2 1 2 ' 1

:   ^ .

On considère l’équation différentielle

 

0 2 ' 1

0 :y y

E .

sciences année

4

ème

Equation différentielle(

7 exercices

)

Révision (2) Bac 2017

Exercice N°1 :

Exercice N°2 :

Exercice N°3 :

(21)

a- Vérifier que la fonction f est une solution de l’équation

 

E .

b- Montrer qu’une fonction v est solution de l’équation

 

E si, et seulement si, la fonction h = v – f est solution de l’équation

 

E₀ .

c- Résoudre l’équation

 

^E₀ . En déduire les solutions de l’équation

 

E .

d- On suppose qu’à l’instant t = 0, la quantité de principe actif présente dans le sang est nulle.

Montrer que la solution de l’équation différentielle

 

E qui vérifie cette condition initiale est la fonction f 3) a- Montrer que f

 

t 0,1admet une solution unique dans

 

^7,8

b- On procède a une nouvelle absorption dès que la quantité présente dans le sang devient inférieur à 10%, après combien d’heures cette absorption doit elle avoir lieu ?

Une ville compte 10 000 habitants. À 8 h du matin, 100 personnes apprennent une nouvelle.

On note y

 

t la fréquence des personnes connaissant la rumeur à l’instant t (exprimé en heures).

On choisit 8 h comme instant initial t = 0.

La nouvelle se répand dans la ville. la fréquence y

 

t vérifie, sur IR, l'équation différentielle :

 

^E :^y'1,15^y



1^y



avec y(0) = 0,01.

1) La fonction z est définie par

z 1y (y ne s’annule pas).

a- Prouver que z vérifie l’équation :

 

E^' ^:z^'¹^,¹⁵z¹^,¹⁵. b- Résoudre l'équation

 

E' .

c- En déduire l’expression de y(t).

2) Soit f la fonction définie sur IR par :

 

_t

e t

f 1,15

99 1

1

 

 a- Etudier le sens de variation de la fonction f.

b- Quelle est la limite de f en + ?

3) En remarquant que y

   

t  f t sur IR.

a- Combien de personnes connaissent-elles la nouvelle à midi ?

b- Déterminer au bout de combien de temps, 99% de la population connaîtra la rumeur.

Une balle de 0,5 kg est lancée verticalement en l’air avec une vitesse initiale de 15m.s^-1.

Sur la balle agissent deux forces, celle due à la gravité et celle due à la résistance de l’air, égale à 1/10 de sa vitesse.

On admet que la vitesse v vérifie l’équation différentielle : (E) : 0,5v’ = – 0,1v – 5.

Partie A

1) a) Résoudre l’équation différentielle (E) dans [0 ; +[.

b) En déduire que v(t) = –50 + 65e^–0,2t.

c) Résoudre l’inéquation : v(t)  0 sur [0 ; +[.

2) Soit h la fonction qui exprime la hauteur de la balle en fonction du temps, on a donc : h’ = v.

a) Déterminer les primitives de v sur [0 ; +[.

b) En déduire l’expression de h.

Exercice N°4 :

Exercice N°5 :

(22)

Partie B

Soit f la fonction définie sur [0 ; +[ par : f(t) = 325(1 – e^–0,2^t) – 50t.

1) Etudier les variations de f (on pourra utiliser le résultat du A-1-c)

2) Démontrer que l’équation f(t) = 0 admet une unique solution  sur ]0 ; +[.

Vérifier que ^



²^,⁷^;²^,⁸



.( on prendra dans la suite  2,75)

3) En déduire une valeur approchée de la hauteur maximale atteinte par la balle et du temps t1 que met la balle pour revenir au sol depuis son point le plus haut.

Le taux d'alcoolémie f

 

t (en gL^¹) d'une personne ayant absorbé, à jeun, une certaine quantité d'alcool vérifie, sur IR, l'équation différentielle :

 

E :y'yae^t

où t est le temps écoulé après l'ingestion (exprimé en heures), et a une constante qui dépend des conditions expérimentales.

1) On pose, pour tout tIR : g

 

t  f

 

t e^t. Démontrer que g est une fonction affine.

2) Exprimer f

 

t en fonction de t et de a.

3) Dans cette question, on suppose que a = 5.

a – Étudier les variations de f et tracer sa courbe.

b – Déterminer le taux d'alcoolémie maximal et le temps au bout duquel il est atteint.

c – Donner une valeur du délai T (à l'heure près par excès) au bout duquel le taux d'alcoolémie de cette personne est inférieur à 0,5 gL^¹.

t

 t f

Exercice N°6 :

(23)

Exercice N°7 :

(24)

Lors d'une enquête réalisée par l'infirmière d'un lycée auprès d'élèves de terminale, on apprend que 60 % des élèves sont des filles. De plus, 5 % des filles et 30 % des garçons fument.

On choisit un élève au hasard. On note : A « l'élève choisi fume », F « l'élève choisi est une fille » et G : « l'élève choisi est un garçon ».

1) Déduire de l'énoncé P

 

F ,P



A/F



etP



A/G



. 2) Quelle est la probabilité que :

a- l'élève choisi soit un garçon ?

b- l'élève choisi soit une fille qui fume ? c- l'élève choisi soit un garçon qui fume ?

3) Déduire des questions précédentes la probabilité que l’élève choisie fume.

4) Sachant que l’élève choisie fume, quelle est la probabilité pour qu’il soit un garçon.

Une entreprise fabrique un article dans deux unités de production notées A et B.

L’unité A, assure 60% de la production.

On a constaté que :

− 3% des pièces provenant de l’unité A présentent un défaut de fabrication.

− 8% des pièces provenant de l’unité B présentent un défaut de fabrication.

On prélève un article au hasard, et on note :

− A l’événement « la pièce provient de l’unité A »

− B l’événement « la pièce provient de l’unité B »

− D l’événement « la pièce présente un défaut », D l’événement contraire.

1) Dessiner un arbre

2) Calculer la probabilité qu’un article présente un défaut et provienne de l’unité A.

3) Montrer que la probabilité qu’un article présente un défaut est égale à 0 ,05.

4) On a prélevé une pièce qui présente un défaut, quelle est la probabilité pour qu’elle provienne de l’unité A ? Une usine d’emballage de pommes est approvisionnée par trois producteurs. Le premier producteur fournit 70% de l’approvisionnement de cette usine, le reste étant également partagé entre le deuxième producteur et le

troisième.

Avant d’être emballées, les pommes sont calibrées par une machine pour trier selon leur diamètre. Les pommes dont le diamètre est conforme aux normes en vigueur sont emballées, les autres, dites « hors calibre », sont rejetées.

Il a été constaté que 20% des pommes fournis par le premier producteur sont hors calibre, 5% des pommes fournis par le deuxième producteur sont hors calibre et 4% des pommes fournis par le troisième producteur sont hors calibre.

Chaque jour les pommes livrées par les différents producteurs sont entreposées dans le même hangar. Pour l’étude du problème qui suit, on convient qu’elles sont bien mélangées.

Un contrôle de qualité sur les pommes est effectué de la manière suivante :

Un contrôleur choisit de manière aléatoire une pomme dans ce hangar, puis mesure son diamètre pour déterminer si elle est de « bon calibre » ou « hors calibre ».

Exercice N°1 :

sciences année

4

ème

Probabilités (

18 exercices

)

Révision (3) Bac 2017

Exercice N°2 :

Exercice N°3 :