1Spé FICHE DE REVISIONS
ETUDE DE FONCTIONS
Exercice 1 :
On considère la fonction f définie sur IR par f(x ) = 2 x3 – 60 x² + 450 x . On note (C f) sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
Partie A :
1) Calculer la dérivée f ' et étudier son signe. Dresser le tableau de variations de f sur [ 0 ; 20 ].
2) Déterminer l'équation des tangentes 1 et 2 à (C f) aux points d'abscisses respectives x1 = 0 et x2 = 1.
3) Déterminer , par le calcul , les coordonnées des point s d'intersection de (C f) avec l'axe des abscisses.
4) Tracer 1 , 2 et (C f) pour x [ 0 ; 20 ] . Attention au choix de l'échelle !!
Partie B:
Un fabricant envisage la production de briques de lait en carton. Au départ il dispose d'une feuille carrée en carton dans laquelle on a retiré deux bandes de même largeur.
Le côté de la feuille carrée mesure 30 cm et on désigne par x la mesure ( en cm ) de la largeur des bandes découpées. On suppose que 0 < x < 15.
1) Démontrer que le volume de la boite ( en cm3 ) est V(x) = 2 x3 – 60 x² + 450 x . 2) Pour quelle valeur de x le volume V(x) est–il maximal ?
Préciser alors la valeur de ce volume maximal en litres.
Exercice 2 :
Soit g la fonction définie par g(x) = 2x² + 4x + 9
x² – 4 . On ne demande pas de tracer la courbe représentative de la fonction g.
1) Déterminer l'ensemble de définition de la fonction g . 2) Calculer la dérivée g ' et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de g sur son ensemble de définition.
4) Etudier le signe de x² – 4 .
6) La courbe représentative de la fonction g admet–elle des tangentes horizontales ? Si oui, en quels points ?
7) En utilisant le tableau de variations établi à la question 2 , déterminer le nombre de solution de l'équation g(x) = 0.
SUITES :
Exercice 1:
Soit (Un) une suite définie pour n entier naturel par u0 =1 et Un+1 = 2Un
2+3Un
1. Calculer u1 et u2.
2. La suite (Un) est-elle arithmétique?
3. On suppose que pour tout entier naturel, Un ≠0 et on définit la suite (Vn) par Vn = 1 Un
a. Montrer que la suite (Vn) est arithmétique et donner ses éléments caractéristiques.
b. Donner l'expression de (Vn) en fonction de n.
c. En déduire l'expression de Un en fonction de n.
4. Etudier la monotonie de la suite (Un)
5. Montrer que, pour tout entier naturel n, 0 < Un ≤ 1.
Exercice 2:
Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n par: u0 =0 , u1 = 1 et U n+2 = 5 U n+1 - 6 Un
1. Soit (Rn) la suite définie sur les entiers naturels par Rn = U n+1 - 3 Un
Monter que la suite (Rn) est géométrique ; déterminer sa raison et son premier terme.
2. En déduire l'expression de Rn en fonction de n.
3. Soit (Sn) la suite définie sur les entiers naturels par Sn = U n+1 - 2 Un
Monter que la suite (Sn) est géométrique ; déterminer sa raison et son premier terme.
4. En déduire l'expression de Sn en fonction de n.
5. En utilisant les question précédentes, monter que Un = 3n - 2n
PROBABILITES Exercice 1 :
Exercice 2:
Une station de sport d'hiver propose à ses skieurs deux types de forfait journalier : le forfait classique au prix de 28€ et
le forfait "grand domaine" (permettant l'accès au remontées mécaniques de plusieurs stations du même massif) au prix de 33€.
Elle propose de plus l'achat d'une assurance accident sur les pistes pour 3€ supplémentaires par jour.
Sur un échantillon de 200 skieurs, 68 ont acheté le forfait "grand domaine" , parmi eux 75% ont opté pour l'assurance.
Seuls 50% des skieurs achetant le forfait classique optent pour l'assurance.
1. On choisit au hasard un skieur de l'échantillon; déterminer la probabilité des évènements suivants:
A:"le skieur a acheté le forfait classique sans assurance"
p(A) = ... ...
B:" le skieur a acheté le forfait classique avec assurance"
p(B) = ... ...
C:"le skieur a acheté le forfait "grand domaine" avec assurance"
p(C) = ………...
Exercice 3:
Deux éleveurs produisent une race de poissons d'ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu'à l'âge de trois mois:
~ pour les alevins du premier élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 10% n'ont pas survécu, 75% deviennent rouges et les 15% restants deviennent gris.
~ pour les alevins du deuxième élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 5% n'ont pas survécu, 65% deviennent rouges et les 30% restants deviennent gris.
Une animalerie achète 200 alevins âgés de deux mois: 60% au premier éleveur, 40% au second éleveur.
1. Compléter le tableau suivant correspondant à ce que possède l'animalerie.
1er élevage 2ème élevage total
Ne survivront pas après 3 mois Deviendront rouges
Deviendront gris
Total 200
2. Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l'animalerie, c'est-à-dire à l'âge de deux mois.
a. Justifier que la probabilité que le poisson soit toujours survivant un mois plus tard est de 0,92 b. Déterminer la probabilité qu'un mois plus tard le poisson soit rouge.
c. Un mois plus tard, le poisson est devenu gris, quelle est la probabilité que ce soit un poisson issu du premier élevage?
CORRECTION ETUDES DE FONCTIONS Exercice 1 :On considère la fonction f définie sur IR par f(x ) = 2 x3 – 60 x² + 450 x . Partie A :
1) f '(x) = 6x² – 120 x + 450. = 3600 = 60² ; x1 = 5 ; x2 = 15.
x 0 5 15 20
f '(x) + 0 – 0 +
f (x)
0
1000
0
1000
2) Equation de la tangente 1 à (C f) au point d'abscisse x1 = 0 : y = f '(0) ( x – 0 ) + f(0) y = 450 x
Equation de la tangente 2 à (C f) au point d'abscisse x2 = 0 : y = f '(1) (x – 1) + f(1) y = 336 (x– 1) + 392 y = 336 x + 56 3) Coordonnées des points d'intersection de (C f) avec l'axe des abscisses :
f (x) = 0 2 x3 – 60 x² + 450 x = 0 2x ( x² – 30x + 225 ) = 0 x = 0 ou = 0 et x = 15.
(C f) coupe l'axe des abscisses en deux points : ( 0 ; 0 ) et ( 15 ; 0 )
4)
Partie B:
1) Volume de la boite :
V(x) = L l h = ( 15 – x ) x ( 30 – 2x ) = 2 x3 – 60 x² + 450 x . En effet 2L + 2x = 30 L = 30–2x
2 = 15 – x ; l = x ; h = 30 – 2x .
2) V(x) = f(x).
D'après le tableau de variations de la fonction f , celle ci atteint entre 0 et 15 un maximum de valeur 1000 pour x = 5.
Donc le volume maximal est atteint pour x = 5 cm et ce volume vaut 1000 cm3 soit 1L.
Exercice 2 : Soit g la fonction définie par g(x) = 2x² + 4x + 9 x² – 4 .
1) Ensemble de définition de la fonction g : x² – 4 = 0 ( x – 2 ) ( x + 2 ) = 0 x = – 2 et x = 2 Dg = IR \ { – 2 ; 2 }
2) g ' (x) = ( 4x + 4 ) ( x² – 4 ) – ( 2x² + 4x + 9 ) ( 2x )
( x² – 4 )² = – 4x² – 34x – 16
( x² – 4 )² = – 2 ( 2x² + 17x + 8 ) ( x² – 4 )² g '(x) = 0 2x² + 4x + 9 = 0 = 225 = 15² ; x1 = – 8 ; x2 = – 1
2
x – – 8 – 2 – 1
2 2 +
g '(x) – 0 + 0 –
g (x)
1,75
– 2
4) Signe de x² – 4 :
x – – 2 2 +
x² – 4 + 0 – 0 +
6) La courbe représentative de la fonction g admet des tangentes horizontales aux points où la dérivée s'annule c'est–à–dire en (– 8 ; 1,75 ) et en ( – 1
2 ; – 2 )
7) Sur ] – ; – 2 [ g(x) 1,75 donc g(x) = 0 n'a pas de solution.
Sur ] – 2 ; 2 [ g(x) – 2 donc g(x) = 0 n'a pas de solution. Donc sur IR \ { – 2 ; 2 } , g(x) = 0 n'a pas de solution.
Sur ] 2; + [ g(x) > 2 donc g(x) = 0 n'a pas de solution
2
1(C
f)
CORRECTION SUITES Exercice 1:
Soit (Un) une suite définie pour n entier naturel par u0 =1 et Un+1 = 2Un
2+3Un
1. Calculer u1 et u2.
U1 = 2U0
2+3U0
= 2
5 ; U2 = 2U1
2+3U1
= 1 4 2. La suite (Un) est-elle arithmétique?
U1 – U0 = – 3
5 et U2 – U1 = – 3
20 donc la suite (Un) n'est pas arithmétique.
3. On suppose que pour tout entier naturel, Un ≠0 et on définit la suite (Vn) par Vn = 1 Un
a. Montrer que la suite (Vn) est arithmétique et donner ses éléments caractéristiques.
Vn+1 – Vn = 1 Un+1
– 1 Un
= 1 2Un
2+3Un
– 1 Un
= 2+ 3Un
2Un
– 1 Un
= 2+ 3Un
2Un
– 2 2Un
= 3Un
2Un
= 3 2 donc la suite (Vn) est arithmétique de raison r = 3
2 et de premier terme v0 = 1 u0
= 1.
b. Donner l'expression de (Vn) en fonction de n.
vn = v0 + n r = 1 + 3
2 n = 2 + 3n 2
c. En déduire l'expression de Un en fonction de n.
Vn = 1 Un
Un = 1 Vn
si Vn 0 . Or vn = 2 + 3n
2 = 0 n = – 2
3 ce qui n'est pas possible car n > 0 donc Un = 1
Vn
= 1 2 + 3n
2
= 2 2 + 3n 4. Etudier la monotonie de la suite (Un)
Un+1 – Un = 2
2 + 3(n+1) – 2
2 + 3n = 2
3n + 5 – 2
2 + 3n = 2(2 + 3n ) – 2(3n + 5 )
(2 + 3n)(3n + 5) = – 6 (2 + 3n)(3n + 5) n > 0 donc 2 + 3n > 0 et 3n + 5 > 0 donc Un+1 – Un < 0 et la suite (Un ) est strictement décroissante.
5. Montrer que, pour tout entier naturel n, 0 < Un ≤ 1.
Un = 2
2 + 3n n > 0 donc 2 + 3n > 0 donc un > 0 n > 0 donc 3n > 0 donc 3n + 2 2 donc 2
2 + 3n 1 donc un 1 donc pour tout entier naturel n, 0 < Un ≤ 1.
Exercice 2:
Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n par: u0 =0 , u1 = 1 et U n+2 = 5 U n+1 – 6 Un
1. Soit (Rn) la suite définie sur les entiers naturels par Rn = Un+1 – 3 Un
Monter que la suite (Rn) est géométrique ; déterminer sa raison et son premier terme.
Rn+1 = Un+2 – 3 Un+1 = 5 U n+1 – 6 Un – 3 Un+1 = 2 U n+1 – 6 Un = 2 Rn
donc la suite (Rn) est géométrique de raison q = 2 et de premier terme R0 = U1 – 3 U0 = 1.
2. En déduire l'expression de Rn en fonction de n.
Rn = R0 qn = 2n
3. Soit (Sn) la suite définie sur les entiers naturels par Sn = U n+1 – 2 Un
Monter que la suite (Sn) est géométrique ; déterminer sa raison et son premier terme.
Sn+1 = Un+2 – 2 Un+1 = 5 U n+1 – 6 Un – 2 Un+1 = 3 U n+1 – 6 Un = 3 Sn
donc la suite (Sn) est géométrique de raison q = 3 et de premier terme S0 = U1 – 2 U0 = 1.
4. En déduire l'expression de Sn en fonction de n.
Sn = S0 qn = 3n
5. En utilisant les question précédentes, monter que Un = 3n – 2n 3n – 2n = Sn – Rn = U n+1 – 2 Un – Un+1 + 3 Un = Un
CORRECTION PROBABILITES Exercice 1 :
Exercice 2:
Une station de sport d'hiver propose à ses skieurs deux types de forfait journalier : le forfait classique au prix de 28€ et
le forfait "grand domaine" (permettant l'accès au remontées mécaniques de plusieurs stations du même massif) au prix de 33€.
Elle propose de plus l'achat d'une assurance accident sur les pistes pour 3€ supplémentaires par jour.
Sur un échantillon de 200 skieurs, 68 ont acheté le forfait "grand domaine" , parmi eux 75% ont opté pour l'assurance.
Seuls 50% des skieurs achetant le forfait classique optent pour l'assurance.
1. On choisit au hasard un skieur de l'échantillon; déterminer la probabilité des évènements suivants:
A:"le skieur a acheté le forfait classique sans assurance" p(A) = 0,5 ( 200 – 68 )
200 = 66
200 = 33
100 = 0,33.
B:" le skieur a acheté le forfait classique avec assurance" p(B) = 66 200 = 33
100 = 0,33.
C:"le skieur a acheté le forfait "grand domaine" avec assurance" p(C) = 0,75 68 200 = 51
200 = 0,255
Exercice 3:
Deux éleveurs produisent une race de poissons d'ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu'à l'âge de trois mois:
~ pour les alevins du premier élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 10% n'ont pas survécu, 75% deviennent rouges et les 15% restants deviennent gris.
~ pour les alevins du deuxième élevage, entre l'âge de deux mois et l'âge de trois mois, 5% n'ont pas survécu, 65% deviennent rouges et les 30% restants deviennent gris.
Une animalerie achète 200 alevins âgés de deux mois: 60% au premier éleveur, 40% au second éleveur.
1. Compléter le tableau suivant correspondant à ce que possède l'animalerie.
En effectif 1er élevage 2ème élevage total
Ne survivront pas après 3 mois 12 4 16
Deviendront rouges 90 52 142
Deviendront gris 18 24 42
Total 120 80 200
2. Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l'animalerie, c'est-à-dire à l'âge de deux mois.
a. Justifier que la probabilité que le poisson soit toujours survivant un mois plus tard est de 0,92 : 200 – 16 200 = 184
200 = 0,92 b. Déterminer la probabilité qu'un mois plus tard le poisson soit rouge. 142
200 = 71 100 = 0,71
c. Un mois plus tard, le poisson est devenu gris, quelle est la probabilité que ce soit un poisson issu du premier élevage? 18 42 = 3
7
