Terminale S : devoir sur feuille n

Terminale S : devoir sur feuille n

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Exercice I

Deux éleveurs produisent une race de poissons d’ornement qui ne prennent leur couleur définitive qu’à l’âge de trois mois :

• pour les alevins du premier élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 10 % n’ont pas survécu, 75 % deviennent rouges et les 15 % restant deviennent gris.

• pour les alevins du deuxième élevage, entre l’âge de deux mois et l’âge de trois mois, 5 % n’ont pas survécu, 65 % deviennent rouges et les 30 % restant deviennent gris.

Une animalerie achète les alevins, à l’âge de deux mois : 60 % au premier éleveur, 40 % au second.

1. Un enfant achète un poisson le lendemain de son arrivée à l’animalerie, c’est-à-dire à l’âge de deux mois.

(a) Montrer que la probabilité que le poisson soit tou- jours vivant un mois plus tard est de 0,92.

(b) Déterminer la probabilité qu’un mois plus tard le poisson soit rouge.

(c) Sachant que le poisson est gris à l’âge de trois mois, quelle est la probabilité qu’il provienne du premier élevage ?

2. Une personne choisit au hasard et de façon indépendante 5 alevins de deux mois. Quelle est la probabilité qu’un mois plus tard, seulement trois soient en vie ? On donnera une valeur approchée à 10⁻²près.

3. L’animalerie décide de garder les alevins jusqu’à l’âge de trois mois, afin qu’ils soient vendus avec leur couleur défi- nitive. Elle gagne 1 euro si le poisson est rouge, 0,25 euro s’il est gris et perd 0,10 euro s’il ne survit pas.

Soit X la variable aléatoire égale au gain algébrique de l’animalerie par poisson acheté. Déterminer la loi de pro- babilité deXet son espérance mathématique, arrondie au centime.

Exercice II

Partie A

Soitf la fonction définie surRpar f(x)=e^x−x−1

et soit (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan. La droite (D) d’équationy= −x−1 est asymptote à (C).

On a représenté sur la feuille annexe la courbe (C) et la droite (D).

1. Soitaun nombre réel. Écrire, en fonction dea, une équa- tion de la tangente (T) à (C) au pointMd’abscissea.

2. Cette tangente (T) coupe la droite (D) au point N d’abs- cisseb. Vérifier queb−a= −1.

3. En déduire une construction, à effectuer sur l’annexe, de la tangente (T) à (C) au pointMd’abscisse 1,5. On fera apparaître le pointNcorrespondant.

Partie B

1. Déterminer graphiquement le signe def.

2. En déduire pour tout entier naturel non nulnles inégalités suivantes :

(1) eⁿ¹ Ê1+1

n (2) eⁿ⁺¹⁻¹ Ê1− 1 n+1

3. En utilisant l’inégalité (1), démontrer que pour tout entier naturel non nuln

µ 1+1

n

¶n

Ée

4. En utilisant l’inégalité (2), démontrer que pour tout entier naturel non nuln

eÉ µ

1+1 n

¶n+1

5. Déduire des questions précédentes un encadrement de µ

1+1 n

¶n

, puis sa limite en+∞.

Exercice III

Partie A

Soit f la fonction définie et dérivable sur l’ensemble des nombres réelsRtelle que :

f(x)=(x+1)e^x. 1. Calculer la limite def en+∞et−∞.

2. On notef^′la fonction dérivée de la fonctionf surR.

Démontrer que pour tout réelx,f^′(x)=(x+2)e^x. 3. Dresser le tableau de variation def surR.

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Partie B

On définie la fonctiongmsurRpar : gm(x)=x+1−me^−x

et on note C_m la courbe de la fonction gm dans un repère

³ O;−→

i ;−→ j´

du plan.

1. (a) Démontrer quegm(x)=0 si et seulement sif(x)=m.

(b) Déduire de la partie A, sans justification, le nombre de points d’intersection de la courbeC_m avec l’axe

des abscisses en fonction du réelm.

2. On a représenté en annexe 2 les courbesC_0,C_{e, et}C−e(ob- tenues en prenant respectivement pourmles valeurs 0, e et−e).

Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l’annexe en justifiant.

3. Étudier la position de la courbeC_mpar rapport à la droite Dd’équation

y=x+1 suivant les valeurs du réelm.

Exercice IV

On considère la suite numérique (vn) définie pour tout entier naturelnpar







v0 = 1 vn+1 = 9

6−vn

Partie A

1. On souhaite écrire un algorithme affichant, pour un entier naturelndonné, tous les termes de la suite, du rang 0 au rangn.

Parmi les trois algorithmes suivants, un seul convient. Préciser lequel en justifiant la réponse.

Algorithme N^o1 Algorithme N^o2 Algorithme N^o3

Variables : Variables : Variables :

vest un réel vest un réel vest un réel

ietnsont des entiers naturels ietnsont des entiers naturels ietnsont des entiers naturels

Début de l’algorithme : Début de l’algorithme : Début de l’algorithme :

Liren Liren Liren

vprend la valeur 1 Pourivariant de 1 ànfaire vprend la valeur 1

Pourivariant de 1 ànfaire vprend la valeur 1 Pourivariant de 1 ànfaire

vprend la valeur 9

6−v Afficherv Afficherv

Fin pour vprend la valeur 9

6−v vprend la valeur 9

6−v

Afficherv Fin pour Fin pour

Afficherv

Fin algorithme Fin algorithme Fin algorithme

2. Pourn=10 on obtient l’affichage suivant :

1 1,800 2,143 2,333 2,455 2,538 2,600 2,647 2,684 2,714

Pourn=100, les derniers termes affichés sont :

2,967 2,968 2,968 2,968 2,969 2,969 2,969 2,970 2,970 2,970

Quelles conjectures peut-on émettre concernant la suite (vn)?

3. (a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, 0<vn<3.

(b) Démontrer que, pour tout entier natureln,vn+1−vn=(3−vn)² 6−vn

. La suite (vn) est-elle monotone ?

(c) Démontrer que la suite (vn) est convergente.

Partie B Recherche de la limite de la suite (v_n)

On considère la suite (wn) définie pour toutnentier naturel parwn= 1 vn−3. 1. Démontrer que (wn) est une suite arithmétique de raison−1

3 2. En déduire l’expression de (wn), puis celle de (vn) en fonction den.

3. Déterminer la limite de la suite (vn).

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Annexe à l’ Exercice II

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

1 2

−1

−2

−3

−4

0

−1

−2

−3

−4 1 2 3 4 5

O

(C)

(D)

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Annexe à l’ Exercice III

1 2 3 4

−1

−2

0

−1

−2

−3 1 2 3 4 5

Courbe 1

Courbe 2

Courbe 3

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