Terminale S : devoir sur feuille n

Terminale S : devoir sur feuille n

2

I

Soitf la fonction définie surRpar :f(x)=sin 3x−3sinx.

1. Comparerf(x+2π),f(−x) etf(π−x) àf(x).

En déduire qu’il suffit d’étudierf surh 0 ; π

2 i.

2. Démontrer que pour tout réelx,f^′(x)= −6sinxsin 2x.

3. Étudier les variations def surh 0 ; π

2 i.

4. Tracer la courbe représentative def sur [−2π; 2π]

II

Notation: soit f une fonction que l’on peut dériver autant de fois que l’on veut (fonction indéfiniment dérivable) ; on note f⁽ⁿ⁾sa dérivée d’ordren. Par conséquent f^′=f⁽¹⁾,f^′′=f⁽²⁾et plus généralement f⁽ⁿ⁺¹⁾=¡

f⁽ⁿ⁾¢′

.

Soitf la fonction définie surRparf(x)=sin(x).

Montrer que, pour toutn∈N^∗,f⁽ⁿ⁾(x)=sin³ x+nπ

2

´

III

On considère la fonctionf définie parf(x)=p

xdéfinie sur [0 ;+∞[.

On appelle C sa courbe représentative dans un repère

³ O;−→

i ;−→ j

´. SoitMun point quelconque de sa courbe représen- tativeC _{et soitA(1 ; 0).}

1. À l’aide du logiciel Geogebra, conjecturer la position de M rendant la longueur AM minimale.

2. On notexl’abscisse de M ; montrer que AM=

px²−x+1.

3. On notegla fonction définie parg(x)= p

x²−x+1.

(a) Calculerg^′(x) puis étudier son signe.

(b) En déduire le tableau de variation deg.

(c) En déduire l’abscisse dex qui rend la distance AM minimale et donner cette longueur minimale.

IV

Soitgla fonction définie surRpar :g(x)=x³−3x−4.

1. (a) Étudier le sens de variation degsurR.

(b) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet une unique solution surR, que l’on appelleraα. Donner une valeur approchée à 10⁻²près deα.

(c) En déduire le signe deg(x).

2. Soitf la fonction défiinie sur ]1;+∞[ par :f(x)=x³+2x² x²−1 . (a) Démontrer que f est dérivable et que f^′a le même

signe quegsur ]1.+ ∞[.

(b) Déterminer les limites de f aux bornes de son inter- valle de définition, construire le tableau de variation def et donner une valeur approchée def(α).

(c) Démontrer que la droite d’équationy=x+2 est une asymptote oblique pourC_f en+∞et étudier la posi- tion deC_f par rapport à cette asymptote.

(d) Déterminer une équation de la tangente à C_{f au} point d’abscisse 2.

(e) ConstruiteC_f, ses asymptotes et les tangentes àC_f aux points d’abscissesαet 2.

V

f est la fonction définie surRpar : f(x)=x⁴−x³+x²−3

4x+1.

Cest la courbe représentative def dans un repËre.

1. Déterminer la dérivéef^′, puisf^′′.

2. Étudier le signe def^′′; en déduire le tableau de variations def^′.

3. Calculerf^′ µ1

2

¶

; en déduire le signe def^′(x) en fonction de x.

4. Dresser le tableau de variations def.

5. Donner les équations des tangentesT etT^′‡C en -1 et en 1.

Tracer les deux tangentesT,T^′etC_.

VI

Pour tout entiernÊ1, on considère la fonctionfndéfinie sur [0 ; 1] par :

fn(x)=xⁿp 1−x.

1. Étude de la fonctionf1:

(a) Calculerf₁^′(x) et déterminer son signe.

(b) Dresser le tableau de variation de la fonctionf1. (c) En déduire que la fonction f1 admet sur [0 ; 1] un

maximum en une valeurx1que l’on précisera.

2. Étude des fonctionsfn

(a) Montrer que, pour toutxde [0 ; 1[,

f_n^′(x)=xⁿ⁻¹[2n−(2n+1)x]

2p

1−x .

(b) Déterminer le signe def_n^′(x) en fonction des valeurs dex.

(c) En déduire que, pour tout entiernÊ1, la fonctionfn

admet sur [0 ; 1] un maximum en une valeurxn que l’on précisera.

3. Étude de la suite (xn)

(a) Démontrer que la suite (xn) est croissante.

(b) Calculer lim

n→+∞xn