Fonctions « exponentielles-puissances »
Rappelons que
1) Une fonction puissance est une fonction où la variable x (en général) apparaît à la base 2) Une fonction exponentielle est une fonction où la variable x (en général) apparaît à l’exposant 3) La fonction réciproque à une fonction exponentielle est appelée fonction logarithme de même base.
4) Une fonction exponentielle à base quelconque a est définie a 0, une fonction logarithme à base quelconque a n’est définie que si la base a 0
1 .5) Une fonction exponentielle à base a et la fonction logarithme à base a sont des fonctions réciproques pour a 0
1 , ce qui entraîne les quelques égalités suivantes (le choix de la base étant – s.r.d.g. – ae) : 1eln 1
2eln 2
3 ln 2 3 3ln 2
82 e e
Les fonctions que nous allons étudier brièvement maintenant contiendront toutes ces caractéristques et l’étude de telles fonctions nécessitera une bonne partie des connaissances acquises au cours de ce chapitre sur les fonctions exponentielles et logarithmiques à base a.
Exemple de référence: f : :x f x
xxIl s’agit ici aussi bien d’une fonction puissance (x à la base) que d’une fonction exponentielle (x à l’exposant). Pour la fonction exponentielle à base quelconque, nous savons tout de même que la base (ici x) doit appartenir à l’ensemble 0. Le domaine de définition (et de dérivabilité de cette fonction) est par conséquent : Df 0 Df'
Si on nous demande de calculer une limite de cette fonction ou une fonction dérivée, nous devons constater que nous ne disposons pas de formule adéquate pour attaquer directement ce problème, étant donné que la variable x apparaît aussi bien à la base qu’à l’exposant. Pour remédier à ces problèmes, nous utilisons la remarque 4) pour transcrire la donnée de la fonction, la base communément choisie étant le nombre e.
ln ln 0:
xx x x
x
x Df f x x e e
, formule qui nous permet maintenant de déterminer des limites et des fonctions dérivées.
Par conséquent : x Df Df' 0:
*
ln 0
0 0
2
0 0 0 0
2 ln
ln ln ln ln
1
lim lim . . 1
1
* : lim ln lim ln lim lim 0
1 1
lim lim
' ln 1 ln 1 ln 1
' 0 1 0, 37
x
x x
x x
H
x x x x
x x
x x
x x x
x x x x x x
f x e f i e
x x x
avec x x
x
x x
f x e
f x x e e f x e x x e x x x
x
f x x e
e
Calculs de limites de fonctions contenant une variable à la base et à l’exposant
Au début du cours portant sur les fonctions exponentielles, nous avons rencontré une limite qui nous servait de définition du nombre d’Euler 1
: lim 1 2,718 281 828 46...
x
e x
x
, connaissance basique des
fonctions exponentielles à base e et des logarithmes naturels .
On peut s’y prendre de deux manières différentes pour calculer des limites de la sorte
3 1 3
2 5
lim 1 et lim Questions LGL - 1D - 06/01/11 - 5+5 points
2
x x
x x
L M x
x x
Méthode 1 : On se base sur la définition du nombre e (méthode également utilisée en EFG)
Avant de nous lancer dans ces exemples de la 1D, reprenons une partie du cours de 1E/1G
2
2
1 1 1
1) lim 1 lim 1 1
1 1
lim 1 lim 1
x x x
x x
x x
x x
x x x
e e e
x x
mais on a aussi que:
2
1 1 1 2
lim 1 lim 1 lim 1
x x x
x x x e
x x x
,
par conséquent, nous pouvons arriver plus vite au résultat en appliquant la méthode
"raccourcie" suivante:
2 2
1 1 2
lim 1 lim 1
x x
x x e
x x
3 3
1 1 3
2) lim 1 lim 1
x x
x x e
x x
4 5
4 4
5 5 5 4
1 1
3) lim 1 lim 1
x x
x x e e
x x
7 2
7 7 2 2
7 3
1 1 7
4) lim 1 lim 1 , 3,5
2
x x
x x e e e e car
x x
1 3
5) lim 1 ?
4
x
x x
Comme l'expression de l'intérieur de la parenthèse a changé, il faut ramener cette expression à l'expression de la limite connue, car ce n'est que cette limite que l'on connaît. On arrive à faire ce passage en utilisant une substitution bien précise.
Posons: 4 ,
4
x t x t si x alors t
D'où:
3 4
3
3 34 4
3
1 1 1 4
lim 1 lim 1 lim 1
4
x t t
x t t e e
x t t
2 1
3 2 2 4
2 3 23 3 3 4 3
2 1 1
6) lim 1 lim 1 lim 1
3
x t
x t
x t t
x x t t t e e e
x t t
3
3 1 1
1 33 3 3 9
9
0 0
1 1
7) lim 1 3 x lim 1 lim 1
x t
x t
t t t
x
t t
x x x t e
t t
1 2
5 1
2 2
5 5
1 5 1 5
2 2 2 4 4 5 4
0 0
5 1 1
8) lim 1 lim 1 lim 1
2
x
x t
x t
t t t
x
t t
x x t
x e e e
t t
Exercice: Calculez les limites suivantes:
3 2
2 2
3
2 2 2
0 0 0
1 1 1
) lim 1 ) lim 1 ) lim 1
4 5
) lim 1 ) lim 1 3 ) lim 1 2
3
x
x x
x x x
x x x
x x x
a b c
x x x
d x e x f x
Une fois cette méthode acquise pour des limites tendant vers ou 0, utilisons cette même méthode pour des limites vers ou 0. Il suffit alors de changer légèrement la variable auxilliaire t, comme dans l’exemple de la limite L du devoir de 1D. Avant de pouvoir calculer la limite M par cette même méthode, il faut effectuer une division de polynômes.
6
2 1 2
3 1 3 6 3 1 6 1 6 1 6 1
1 6
0 1
2 1 1 1
lim 1 lim 1 lim 1 1
1 1
lim 1 lim 1
x t
x t
x x t x t t t
x x t t t
t
t t
e
L x t t t
t t
3
6
3 1 2 2 3
3divisionpar 3 3 2 3 3 1 3 1
3 1 3
5 3 1
lim lim 1 lim 1
2 2
1 1 1
lim 1 1 lim 1
x t
x t
x x x t x t t
x x x t t
t t
t t
e
e
M x
x x t
t t t
1
3
0 1
lim 1 1
t e
t
Méthode 2 : On se base sur les fonctions « exponentielle-puissance »
Reprenons l’exemple de la limite M pour expliquer cette méthode :
5 3
lim 2
x x
M x
x
Soit f la fonction correspondante : : :
5 32 x x
f x f x
x
3
0
1 2
5 5
ln 2 3 ln 2
calcul 3 3
3 3 ln 52 intermédiaire 5 2 3
) : 5 0 ; 5 2;
2
) , on a :
) lim 5 lim . . lim
2
x
f
x x
x x x
f
x x x
x x x x
x x x
a CE x D
x
b x D f x e e
c M x e f i e e
x
Utilisons un calcul intermédiaire pour lever cette indétermination :
5 2
5 ln 2
lim 3 ln lim lim
2 1
3
H
x x x
x x
x x
x x
x
5 x
x
2 x
25 2 x
2
2
3 3
lim 3
1 5 2
3
x
x
x x
x
Exercice supplémentaire:
Calculer
2 2
3 1 2 1
lim lim
3 1 3
x x
x x
x x
N O
x x
et expliquer pourquoi la deuxième limite (O) ne peut pas être calculée à l’aide de la méthode 1.
Avantages et désavantages de cette méthode 2
Elle fonctionne toujours, quelle soit la base donnée, à condition que cette limite soit adhérente au domaine
Il n’y a pas mille choix possibles pour attaquer le problème.
Théoriquement, il faudrait d’abord contrôler le domaine de la fonction en question
On aboutit très souvent à une forme indéterminée
Le calcul intermédiaire peut s’avérer assez « technique »
En annexe, vous trouvez encore quelques questions d’examen, résolus à l’aide de la deuxième méthode, puisque vous disposez déjà de plus d’exemples utilisant la méthode 1.
Exercices divers (extraits d’examens)
1) Question d’examen juin 2011 C/D [6 points] (traité en classe) Soit la fonction f définie par : : :
1 32 x x
f x f x
x
1) Trouvez les domaines de définition et de dérivabilité de f. Calculez la dérivée f’ . 2) Calculez lim '
x f x
.
Résolution
CE :
'1 1
0 (et 2) ;1 2;
2 2 f f
x x
x D D
x x
13 1
ln 3 ln
2 2
':
x x x
x x x
Df f x e e et
3 ln 12 1 2' 3 ln 3
2
x x
x x x
f x e x
x
21 2 1 1
1 2
x x
x x
3 ln 1
2 1 3
3 ln 2
x x
x x x x
e x
2 x
3 ln 1 2
1
1 2
1 3 1 3
' 3 ln 3 ln
2 1 2 2
x x x
x x
x x
x x x
f x e
x x x x
2 x
1 1 3
1 2 2
x x
x x x
1 *
3 ln 2 3
( . .)
0 0
0
1 3
lim ' lim 3ln 0 0
2 1 2
x x x
x x
f i
x x
f x e e
x x x
Calculs intermédiaires : (*)
2
' 2
1 ' )
3 ln 2 3
1 1
ln 1 2
1 2 3
) lim 3 ln lim lim lim 3
1 1
2 3 1 2
3 9
) lim
H
x x voir calcul x x
de f x
x d après i
x x x
x
x x
x x x
i x
x x x
x x
ii e e
2) Question d’examen juin 2010 C/D [5 points]
Soit la fonction f définie par : f : :x f x
x x1) Trouvez le domaine de définition, le domaine de dérivabilité et l’expression de la dérivée de la fonction f.
2) Calculez
0
lim
x f x
.
3) Question d’examen septembre 2010 C/D [3 points]
Calculez
3 1
2 3
lim 2 1
x x
x x
.
