népériennes ,fonctions puissances et fonctions exponentielles de base a
Ressource produite dans le cadre du projet PReNuM-AC Cette ressource a été conçue et produite par
NDEDI EPEE GUILLAUME FRANCIS, étudiant à l'ENS de YAOUNDE CAMEROUN
Licence " Créative commons", toute utilisation commerciale interdite Cette ressource est accompagnée :
- d’un article de recherche dont la lecture est conseillée en complément, Jean-Luc VERLEY, «EXPONENTIELLE & LOGARITHME», Encyclopædia Universalis [en ligne],
http://www.universalis.fr/encyclopedie/exponentielle-et-logarithme/
- d’exercices WIMS dans le chapitre 5, répondant aux objectifs pédagogiques pécifiques énumérés au paragraphe 1.2., à l'adresse
https://wims.auto.u-psud.fr/wims/
CHAPITRE I PRELIMINAIRES
1.2 objectifs pédagogiques spécifiques.. . . . . . . . . .2
1.3 Préréquis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.4 Historique . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 3
1.5 Utilisations . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . .3
1.6 Relations avec les autres parties du programme .. . . . .4
CHAPITRE II Présentation des fonctions exponentielles 2.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
2.1.1 Activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
2.1.2 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.3 Étude des fonctions exponentielles . . . . . . . . . . . .12
2.1.4 Dérivées successive et Primitives. . . . . . . . . . . . .14
2.1.5 Résolution des équations et inéquations avec le symbole e.. 18
CHAPITRE III Présentation des fonctions puissances et des fonctions exponentielles de base a 3.1 Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.1 Puissance réelle d’un réel . . . 20
3.1.2 Fonctions puissances . . . 23
3.1.3 Fonction exponentielles de base a ,a ǫ R . . . 25
3.1.4 Croissances comparées des fonctions de reférence . . . . 27
1.1 But et objectif généraux . . . . . . .. . . . . . . . . . .2
CHAPITRE IV QUELQUES APPLICATIONS
4.1 Applications en médécine . . . .29
4.1.1Effetd’unmédicamentdansl’organismed’unhomme.. . . 29
4.2 Application en physiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . 32
4.2.1 Radioactivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Application en statistique . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3.1 Ajustement exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.4 Application enstatistiques . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.4.1 Ajustement par une fonction puissance . . . . . CHAPITRE V EXERCICES 5.1 vraiou faux . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 38
5.2 Exercices d’applications . . . . . . . . . . . .. . . . 38
5.2.3 Systèmes d’équations . . . . . . . . . ... . . . . . . . . .40
5.2.1 Valeurs numériques . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . 5.2.2 Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.2.4 Inéquations ,systèmes d’inéquations . . . . ... . . 40
5.2.5 Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3.1 Vraie oufaux . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 44
5.2.6 Calculs des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 41
5.2.7 Calculs des primitives . . . . . . . . . . . . 42
5.2.8 Etude des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.3 Corrections des exercices . . . . . .. . ... . . . . . . . . 44
5.3.2 Exercices d’applications . . . . . .. . . . . . .. . . 44
1.1 But et objectifs généraux de la ressource
La notion de fonction a été introduite dans la classe de seconde.Mais en classe de terminale, après avoir enseigné la notion de fonc-tions logarithmes népériens, nous allons introduire les notions de fonctions exponentielles,foncttions puissances et
fonctions expo-nentielle de base a
R .En é˙et,de nombreux phénomènes physiques, biologiques, et économiques, ont été modélisés par une fonction qui est proportionelle à sa dérrivée. L’étude de cette fonc-tion doit son existence à LEONHARD EULER : Mathematicien suisse , né en 1707.
La particularité de cette fonction est qu’elle transforme la somme en produit.
1.2 objectifs pédagogiques
On désigne par u une fonction numérique tel que : u(x)6=x . Àprès le cour sur les fonctions exponentielles, l’élève sera capable de :
– Etudier et tracer la fonctionf :x7→exp(u(x)) – Etudier et tracer la fonctiong :x7→exp(|u(x)|) – Etudier et tracer la fonctionh:x7→ax
– Déterminer les primitives des fonctionsu′exp(u(x))
– Résourdre les équations et inequations avec le symbole e .
1.3 Pré-réquis
Les fonctions exponentielles sont différentes des autres par leur notation
Le but de cette ressource est de contribuer à fournir aux enseignant les outils susceptibles de leur permettre de répondre plus efficacement aux difficultés des élèves en lien avec les concepts de fonction exponentielle et de fonction puissance.
L'objectif de cette ressource est de contribuer à une élaboration des outils théoriques susceptibles de permettre à l'élève de s'approprier les concepts de fonction exponentielle et de fonction puissance.
Pour mieux aborder cette leçon l’élève doit connaitre les notions suivantes : – La monotonie ;
– La continuité ; – La bijection ;
– Les dérivées et primitives ;
– L’études des fontions logarithmes de base a , a étant un réel
1.4 Historique
DansA history of mathématic souvent réédité,l’exelent proffeseur CARL B BOYER attribue l’invention de la fonction logarithme au barron de Mun- chinton JOHN NAPIER(NEPER) vers 1594. CARL B BOYER est moins précis pour la fonction exponentielle. IL indique qu’ARCHIMEDE à exprimé des grands nombres avec l’usage de ses “tétraèdres“. Au moyen âge ,THO- MAS BRAWARDINE a fait un pas en direction de l’étude des fonctions transcendentales . NICOLE ORESME l’a suivi en généralisant la théorie de production(modèle exponentielle de MALTHUS).Mais la fonction expo- nentielle , comme nous l’avons mentioné dans notre introduction doit son existence à LEONHARD EULER. Ce Dernier était le fils d’un pasteur. Ses études portaient sur des lettres, la théologie et la médécine,jusqu’à l’âge de 17 ans. Il fut persuadé par la famille BERNOULI à l’âge de 18 ans de s’orienter vers les Mathémathiques .En 1727, il s’installa à Saint petersbourg à l’aide de la famille BERNOULLI auprès de PIERRE PREMIER LE GRAND. ET remplaça DANIEL BERNOULLI en 1733 à l’académie des sciences de Paris.
Il présida cette académie jusqu’en 1755. Vers la fin de sa vie, il revient à saint petesbourg. Son œuvre est considérable. EULER intervient dans trois domaines fondamentaux des sciences de son époque : L’astronomie (orbite planetaire , trajectoire des comètes) les sciences physiques(champs magne- tiques , optiques, nature ondulatoire de la lumière , mécanique des solides).
1.5 Utilisations
– Utilisations en médècine : On utilise cette fonction par exemple pour déterminer le temps d’effet d’un médicament dans l’organisme d’un homme.
– En démographie : Cette fonction est étudiée pour déterminer la crois- sance d’une population
1.6 Place dans le programme
Dans le programme camerounais,les enseignants abordent la notion de fonctions exponentielles après celle de fonctions logarithmes.
exponentielles
2.1 Présentation
Les approches pédagogiques d’une fonction exponentielle se font à l’aide de plusieurs activités.
2.1.1 Activités
Activité 2.1.1. Objectifs visés : consolider les acquis sur la fonction loga-rithme néperien etétudier lareciproque decette fonction.
commentaire Enoncé
leplanestmunidurepèreorthonormal(O;~ı,~).On considère la fonction f : x7→ ln(x) .
1. Aprèsavoirpréciséledomainededéfinitiondef,Étudier son sens devariation.
2. Cette fonctionadmett’elleunebijectionréciproque?Si oui,onnotef−1 cetteréciproque.
3. Dans un papier milimétré, represénter graphiquement la fonction f. On note (Cf) la courbe représentative de f.
on retrouve des élémentsquinous permettent d’intro- duirelesnotionsde fonctions exponen-
tielles
A ct iv it é 2. 1. 2. Objectifs visés:Présenterlafonctionexponentielle àpartir de lafonction logarithme népérien.
Enoncé
leplanestmunidurepèreorthonornal(O;~ı,~).On considèrelafonctionfdel’activité2.1.1
1. En utilisantlaformuledeladérivéedelaréciproque d’unefonction,démontrerque(f−1)′ =f−1
2. Justifiergraphiquementquepourtoutxǫ IR f−1(x)>
0
3. Étudier graphiquementle sens de variationde f 4. Calculer f−1(0)
commentaire
l’éleve poura faire des remarques sur les pro- piétés de la fonction exponentielle.
Avant de passer à l’activité suivante , nous rappelons aux élèves que leséquations dutype :
f′ =λfoùλǫ IR
sont leséquations différentielles dupremier ordre. lessolutions deces équa- tions si elles existent sont des fonctions continues dans des domaines de dé- finitionquel’onprécisera.
A ct iv it é 2. 1. 3. Introduire la fonction exponentielle à l’aide de la méthode d’Euler.
Cette activité possède deuxparties : P art ie I : part ie t héor ique
Enoncé
On suppose qu’il existe une fonction f non nulle, définie et dérivable sur IR telle que :
f′ =f
1. Soitλǫ IR .Onposeg=λf:Démontrerque: g′ =g sur IR
2. Soit maintenant g une fonctionvérifiant aussi : g′ =g sur
IR Que peut-on dire de f + g ?
3. Supposons ensuite qu’il existe une fonction f définie et dérivable sur R vérifiant les conditions suivantes :
(p)
(y˙ = y y(o)=1
(a) On considère la fonctionc définie sur IR par : c(x)=f(x).f(−x)
Montrer que c estune fonctionconstante égaleà 1
sur IR
(b) Démontrer que si g est une fonction qui vérifie (P) alors g = f sur IR. (On pourra
considérer la fonction h définie par h = fg ) (c) Vérifierquelafonctionfdéfiniedansl’activité2.1.2
estsolutiondusystèmedifférentielf.
commentaire
On constate dans cette partie que s’il existe une fonction non nulle f qui vérifie l’équation différentielle:
y˙ = y alors il en
existe une
infinité .Cependant s’il existe une condition initiale à notre équation diffé- rentielle ,alors lasolu- tion est unique.
P art ie II : part ie numérique
Enoncé commentaire On rappelle que si f est une fonction dérivable en a , alors il
existeunefonctionϕtelleque:
f(a + h) = f(a) + hf′(a) + hϕ(h) où lim
h→+0 ϕ(h) = 0 D’oùl’approximationf(a+h) ≈ f(a)+hf′(a)C’estsurcette approximation dite affine qu’est basée la méthode d’Euler.
1. En utilisantlesconditionssatisfaitesparf,démontrer que pour tout nǫ IN :
f(a + nh) ≈ (1 + h)nf(a)
2. Ondétermine Un la suite définie sur IN par : Un =(1+h)nf(a)
Démontrer que (Un) est une suite géométrique et pré-ciser saraison.
3. Dans cette question onsupposeque a=0 onadonc : f(nh) ≈ (1+h)n
(a) On pose x = nh : démontrer que pour n assez grand:
f(x) ≈ (1+ x n)n
Cette approximationest d’autant meilleur que n est grand
(b) Tracer les courbes approximatives de la fonction f pour lesvaleurs de n égales à10 ,100 et 1000.
(c) En prenant n = 10000 , donner une valeur appro- chée du nombre
f(1) ≈ (1+ 1 n)n
NB:Lenombref(1)estencorenoté e c’est pour-quoion dit que :
e= lim (1+ 1 )n
On constate que cette approximation est d’autant meilleure que h est petit. C’est cettesuite(Un)définie par Un(x) =(1+ 1 n )n que nous utilise- rons pour montrer rigoureusement l’exis- tence de la fonction exponentielle.
Remarque 2.1.1
1. Dans l’activité 2.1.1 , on remarque que la fonction logarithme népérienestunefonctionbijectivesur]0;+∞[quiadmetunebi- jectionréciproque.cettebijectionréciproqueestappeléefonction exponentielle.
2. Dans l’activité 2.1.3 , les deux parties nous permettent de dire qu’il existe une unique fonction continue sur IR qui vérifie
le systèmedifférentiel
(p)
(y˙ = y y(o) = 1
Cettefonctionestlafonction exponentielle.Nousallonsvoirdans la suite, que cette fonction possèdedes propriétés remarquables .
2.1.2 Définitions et propriétés
Définition 2.1
On appelle fonction exponentielle , la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien.
N ot at ion 2. 1. 1. On noteex ou exp(x)l’imaged’unréel x par lafonction exponentielle C on séquenses :
• La fonction exponentielle a pour ensemble de définition IR et pour ensemble d’arrivée ]0; +∞[ . ;
• Pourtoutréelx,pourtoutyde]0;+∞[,y=exéquivautà x = ln(y) ;
• Pour tout réel x , ln(exp(x)) = x ;
• pour tout réel strictement positif, y , exp(lny)=y
• exp(0) = e0 = 1 et exp(1) = e1 = e
Ces égalités, qui traduisent le fait que ces fonctions sont réciproques l’une de l’autre , servent dans la résolution d’équations.
Exemple 2.1.1
1. Résolution d’équation d’inconnue x : 2lnx2− ln3x=2
L’ensemble de définition de cette équation est DE=]0; +∞[ . Puisquelnx2 =2lnx:cetteéquationestéquivalenteà:
4lnx−ln3 −lnx = 2
on trouve lnx = 2+ln33 . Puisque la fonction exponentielle est la bijection réciproque de la fonction ln , x = exp(2+ln33 ) . Ce nombre strictement positif est dans DE donc S = {e(2+ln33 )} 2. Déterminons exp(2x) ou e2x en fonction de x . Soit y
stric-tement positif tel que
y=e2x
En appliquant les égalités des cons équences précédentes , ceci équivautà2x=lnyc’estádirex=ln√y.Onadonc√y=ex soit y=(ex)2 Finalement:
e2x =(ex)2
Nousallons généraliser ce cas ultérieurement.
Calculatrice scientifique : Nous voulons déterminer une valeur approchée du nombreea ,aǫ IR.Pourcelaontapesuccessivementlestouches
a Inv ln
Comme exemple on a : e2.3 donne
9,9741824548
Propriété 2.1
Lafonctionexponentielleestunefonctionbijectivestrictementcrois- santede IR sur]0;+∞[
A llure de la cou rb e représent at ive :
Plaçonsnousdansunrepèreorthonormé(O;~ı,~)duplan.soit(C)la courbe représentative de la fonction exponentielle. Et soit (Γ) celle de la
fonctionlogarithmenépérien.Désignonspar(∆)ladroited’équation: (∆):y=x
. D’après l’activité2.1.1 , La courbe (C) est l’image de (Γ) par rapport à (∆) . Onobtientlafiguresuivante.
-2 -1 0 1 2 3
1 2 3
−1
1 2 3
−1
−2
f g1 (C )
(Γ)
−2
A ct iv it é 2. 1. 4. Objectif visé : présenter les propriété de la fonction expo- nentielle
Énoncé Commentaire
1. On considère x et y deux réels . Jus-tifier que
ex+y =exey. 2. Démontrer que :
(a) e−x= 1 ex
Les reponses à ces diffé- rentes questions permettent à l’élève de découvrir les proriétés de la fonction ex- ponentielle.
2.1.3 Étude des fonctions exponentielles
L im it es aux b or nes du dom aine de déf nit ion
propriété 2.4
On a
x→+∞lim ex =+∞
x→−∞lim ex = 0
Remarque 2.1.2
Ces résultatssont enaccord avecceque lacourbe(C) nous laisse pres-sentir (fig 1).
D érivab ilit é
Théorème 2.1
La fonction exponentielle est dérivable sur IR . Elle est égale à sa dérivée. c-à-d : Pour tout réel x , (ex)′ = ex
P reuve N ou s admet t ron s d’après la cou rb e (C) de la f g1 que la fon ct ion ex p on ent ielle est dérivab le sur IR à valeur dans ]0; +∞[ E n appliquant le t héor ème de dérivat ion des fon ct ion s com p osées,à ln ◦ exp , on ob t ient : 1=(ex)′ e1x d’où (ex)′ =ex
C om p or t ement asy mpt ot ique – Auvoisinagede −∞
On a x→−∞lim ex = 0.
Doncladroited’équation y=0 estasymptotehorizontaleàlacourbe représentativedelafonctionexponentielleauvoisinagede −∞.
– Auvoisinagede+∞ ,ona
x→+∞lim ex=+∞.
Donc la fonction exponentielle admet une branche infinie au voisinage de+∞ .
Etudionslimx→+∞ ex
x à travers l’activité suivante.
A ct iv it é 2. 1. 5.
Enoncé
Onconsidèrelafonctionϕ:x 7→ ln(xx) 1. Montrer que:
x→+∞lim ϕ(x) = 0
(on utilisera la notion de limite de re- férence dans la resource de la fonction logarithme).
2. Justufier que pour tout xǫ]1,+∞]ϕ(x)>0
3. (a)Monterqueϕ(ex)=xex (b)Calculerlimx→+∞ ex
x
Commentaire
Danscetteactivité,l’appre- nant découvre la limite de reférence.
Tracé de la cou rb e
Désignonspar (C).La courbereprésentativede lafonctionexponentielle dans un repère orthonormal (O ;~ı, ~). Désignons par : (T1) la tangente en M1(0; 1) à la courbe (C). (T2) la tangente en M2(1; e) à la courbe (C). Une équationde(T1)esty=x+1.Uneéquationde(T2)esty=ex.Onobtientla courbesuivante.
1 2 3
−1
−2
1 2 3
−1
−2
-2 -1 0 1 2 3
f g2 (C )
2.1.4 Dérivées successive et Primitives
D érivées successives
Onrappellequelafonctionexponentielleestderivablesur IR .Pourtoutx ǫ IR
(exp(x))′ = exp(x) .Pour tout entier naturel n ,
exp(n)(x)=exp(x)
Exemple 2.1.2
Calcul des dérivées premières etseconde def définie par f(x) = (ax2 + bx + c)ex
oùa;betcsonttouslesréels(a 6=0)cettefonctionétantleproduitde deuxfonctions2fois dérivablessurR est2foisdérivables sur IR : Pour tout x réel :
f′(x)=(2a+b)ex +f(x)
donc f′(x)=[ax2 +(b+2a)x+(b+c)]ex et f′′(x)=(2ax+(b+2a))ex +f′(x) donc f′′(x) = [ax2 + (b + 4a)x + 2a + 2b + c]ex
P rim it ive de la fon ct ion ex p on ent ielle.
Puisque la fonction exponentielle coïncide sur IR avec sa dérivée, elle ad-met une infinité de primitive sur IR. (étant dérivable sur IR, elle est continuesurIR ). On obtientdonc la propriété suivante.
Propriété 2.6
La fonction exponentielle admet une infinité de primitive sur R dela forme : ex + k ; où k est un réel
D érivées des fon ct ion s com p os ées
A pplicat ion à la recherche des prim it ives
Propriété 2.7
u étant une fonction dérivable sur unintervalle I, lafonction eu est dérivable surI et ona : (eu)′ =u′eu
:
Exemple 2.1.3
Donnons la dérivée de la fonction
f(x)=excosx ona :
f′(x) = (xcosx)′excosx donc :
f′(x)=(cosx − xsinx)excosx .
A pplicat ion à la recherche des prim it ives par lect ure inverse de la for mule de dérivée de la fon ct ion eu .
Uneprimitive de lafonction u′eu est eu
Exemple 2.1.4
Soit f la fonction définie sur R par
f(x)=(2x+1)ex2+x
f est continue sur R et admet une infinité de primitive sur R . si u(x) = x2 + x
alors
u′(x)=2x+1
. Il suit que f(x) = u′(x)eu(x) Donc une primitive de la fonction f est lafonction F définie par
F(x)=ex2+x
Travaux dirigé s :
TD1 :Enoncé
On considère la fonction f définie par f(x) = ex2+x : quest ion 1 Donner le domaine dedéfinition dela fonctionf quest ion 2 – calculer ladérivée de f puis étudier son signe
– calculer leslimites aux bornes dudomaine de definitionde f – Déterminer le tableaude variationdela fonction f
quest ion 3 construirelacourberepr?sentative (Cf) decettefonction.
Dans un rep ?re othonormal (O ;~ı,
~) S olut ion gu idée :
rep on se1 Observersimplementl’étudedudomainededéfinitiondelafonc- tion exponentielle.
rep on se2 – Utiliser la formule dela dérivée des fonctionsde laforme eu – Utiliser lesigne dela dérivée def
– Le calcul des limites est évident : il suffit de penser à la notion de limites des fonctions composées
rep on se3 – Préciser etconstruire lestangentes auxpoints d’abscisses 0et 1. On prendra e≃ 2; 718
– -Étudier si possible lesbranches infinies dela fonction f.
-2 -1 0 1 2 3 4
1 2 3
−1
−2
1 2 3
−1
−2
f g3 (Cf)
TD2 :Enoncé
On considère lafonction gdéfinie par
g(x)=
r ex 1+ex
quest ion 1 Préciser l’ensemble dedéfinition dela fonction g
qeust ion 2 Donner le domaine de dérivation de la fonction g puis déterminer ladérivé g′ de g
quest ion 3 – Calculer leslimites aux bornesdu domaine de g – Déterminer le tableau de variation de g ,
– construire la courbe (Cg) représentative de la fonction g dans un repèreorthonormé
S olut ion gu idée :
rep on se1 Observer lesconditionsd’existences delafonction racinecarrée.
rep on se2 utiliserlaformule des dérivées des fonctionscomposées pourob- tenir le resultatsuivant :
g′(x) =
√ex 2(1+ex)32 .Il suit que g est strictement croissante sur R rep on se3 –onalimx→−∞ g(x)=0etlimx→+∞ g(x)=1
– tableau de variation:
x −∞ +∞
1
g(x) ր
0 – representation graphique deg :
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
−6
f g4 (Cf)
2.1.5 Résolution des équations et inéquations avec le symbole e
Travaux dirigé s :
TD3 :Enoncé
Résoudreles équations suivantes :
e2x+ 3ex− 4 = 0 (2.1)
(2 −√
2)e3x− 2e2x+4(√
2 − 1)ex=0 (2.2) (2.3) e3x− 3e2x+ ex− 1 = 0
S olut ion gu idée :
