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Les fonctions exponentielles

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Le chemin vers le bac

EXERCICE 1:

1) Ecrire chacune des expressions suivantes sous forme d'une seule exponentielle :

a) e × e b) × c) (e ) × e × e

2) Développer chacune des expressions suivantes : A = e (3e − e + xe ) et B = (e +e )( e −e )

EXERCICE 2:

Pour chacune des propositions suivantes une seule réponse est correcte, préciser la : 1) Le réel e ln (1e) est égal à :

a) b) e c) 1 2) Le réel (e ) ( ) est égal à :

a) b) 1 c) e 3) Le réel 2e( ) est égal à :

a) 2xe b) 2e + 2x c)2x 4) Le réel e( ) est égal à :

a) ex− 2x b) c) e −elnx2

EXERCICE 3:

1) Résoudre dans IR les équations et les inéquations suivantes:

a) e = 1 d) e ≤ e

b) 2e − 1 = 0 e) 4e − 4 > 0

c) 3e + e − 2 = 0 f) e (1 − 3e ) ≥ 0

EXERCICE 4:

Calculer chacune des limites suivantes :

lim ; lim

⟶ ∞

; lim

; lim

(e − x ) ; lim

; lim

⟶ ∞

lim(x + e )e ; lim

(e − 3e + x ) ; lim

; limx(1 − e

⟶ ∞

) ; lim

LYCEE SAID BOU BAKKER MOKNINE

PROF: HANNACHI SALAH

« é Sc. Techniques »

SERIE D’EXERCICES N°1

Les fonctions exponentielles

lim

e =+∞ ; lim

e =0

lim =+∞ ; lim

xe =0

lim =+∞ ; lim

x e =0 ∀ r ∈ ℚ

lim = 1

(2)

Le chemin vers le bac

EXERCICE 5:

Soit la fonction définie sur IR par : ( ) = ( + 1) . (C) est sa courbe dans un repère orthonormé ( , ⃗ , ⃗).

1) Dresser le tableau de variation de la fonction f puis étudier les branches infinies de(C).

2) Déterminer une équation de la tangente (T) à (C) au point A(0,1).

3) Soit la fonction définie sur IR par : ( ) = ( + 1) − 1 a) Dresser le tableau de variation de la fonction .

b) En déduire le signe de ( ) pour tout ∈ IR 4) Etudier la position de (C) par rapport à (T) puis les tracer.

EXERCICE 6:

Soit La fonction définie sur IR\{0} par : (x) = (1 + ) 1) Montrer que f est dérivable sur IR\{0} et que : ′(x) =

1 2(1+ 1)

2) a) Montrer que f réalise une bijection de ]0, +∞[ sur ]ln2, +∞[

b) Montrer que f ( ) = ( −1)1 ∀ x ∈ ]ln2, +∞[.

EXERCICE 7:

Déterminer une primitive F de sur I dans chacun des cas suivants :

a) ∶ ⟼ e + 2e ; I=IR c) ∶ ⟼ ; I=IR

b) ∶ ⟼

( )

; I= IR d) ∶ ⟼ ; I=IR

EXERCICE 8:

Soit la fonction définie sur IR par ( ) = et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( , ⃗ , ⃗). (On prend comme unité graphique 1cm)

1) Etablir le tableau de variation de .

2) a) Montrer que le point I(0,2) est un centre de symétrie de (C).

b) Ecrire une équation de la tangente T à (C) au point I.

3) Tracer (C) et T

4) a) Montrer que réalise une bijection de IR sur un intervalle K que l'on précisera.

b) Expliciter ( ) pour tout ∈K.

c) Tracer dans le même repère ( , ⃗ , ⃗) la courbe (C') de .

(3)

Le chemin vers le bac

EXERCICE 1:

A/ Soit la fonction définie sur IR par : ( ) = 2 − 2 1) Dresser le tableau de variation de la fonction .

2) a) Montrer que l’équation g(x)= 0 admet dans IR exactement deux solutions 0 et . Vérifier que −1,6< < −1,5

b) Dresser alors le tableau de signe de g(x).

B/ On considère la fonction définie sur IR par ( ) = − ( + 1) On note (Γ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( , ⃗ , ⃗).

1) a) Montrer que

( )=+∞

b) Montrer que pour tout réel on a : ′( ) = . ( ) c) Dresser le tableau de variation de la fonction . 2) Calculer

( ) . En déduire une interprétation géométrique.

3) Montrer que ( ) = −

4) Tracer la courbe (Γ). (On prendra ( ) ≈ 0,2)

EXERCICE 2:

EXERCICES A LA MAISON

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