Solutions rationnelles d’une équation polynomiale à coefficients entiers

(1)

Solutions rationnelles d’une équation polynomiale à coefficients entiers

On s’intéresse aux racines rationnelles d’une équation polynomiale de degré n du type

1 2

1 2 1 0 0

n n

a x a_ x ^ ... a x a xa  où a₀, a₁, … a_n appartiennent à  avec a_n 0.

Partie A. Étude d’un cas particulier

On considère l’équation x⁷ 6x⁴5x³3x²31x 2 0 (1).

Démontrer que si m est un entier relatif solution de (1), alors m | 2.

L’équation (1) admet-elle des solutions entières ?

Partie B. Cas général

On se place dans le cas général d’une équation polynomiale a x_n ⁿa_n_₁xⁿ^¹... a x ₂ ²a x₁ a₀ 0 (E) où a₀, a1, … a_n sont des entiers relatifs tels que a_n 0.

On suppose que (E) admet une solution de la forme p

q avec p  , q  ^* et ^PGCD



^{p q}^;



^¹^.

Démontrer que p a| ₀ et |q a_n.

Ce résultat est appelé critère d’Eisenstein.

Partie C. Une application

Déterminer en utilisant le critère établi dans la partie B, les racines de l’équation 15x³43x²7x 3 0 (E).

(2)

Solution

Partie A

Supposons que m soit un entier relatif solution de (1).

On a alors : m⁷6m⁴5m³3m²31m 2 0. D’où ^m



^^m⁶^⁶^m³^⁵^m²^³^m^³¹



^².

entier relatif donc m | 2.

  

²  2 ; 1 ;1 ; 2



D

2 est solution de (1).

– 1, 1 et – 2 ne sont pas solutions de (1).

2 est donc la seule solution entière de (1).

Partie B

p

q est solution de (E) donc

1 2

1 2 1 0 0

n n

p p p p

a a ... a a a

q q q q



     

      

     

     

.

D’où

1 2

1 1 2 2 1 0 0

n n

n n n n

p p p p

a a ... a a a

q q q q



 

        .

On multiplie les deux membres par qⁿ.

1 2 2 1

1 2 1 0 0

n n n n n

n n

a p a _ p ^  q ... a p q ^ a  p q ^ a q  (1)

Démontrons que p a| ₀. (1) donne alors :

1 2 2 1

1 2 1 0

n n n n n

n n

a p a _ p ^  q ... a p q ^ a  p q ^  a q



¹ 1 ² 2 ² 1 ¹



0

n n n n n

n n

p a p ^ a _ p ^  q ... a  p q ^ a q ^  a q

(3)

Cette dernière égalité montre que p|a₀qⁿ.

Or p et q sont premiers entre eux donc p et qⁿ sont premiers entre eux (propriété du cours).

D’après le théorème de Gauss, p a| ₀. Démontrons que |q a_n.

(1) donne alors :

1 2 2 1

1 2 1 0

n n n n n

n n

a_ p ^  q ... a p q ^ a  p q ^ a q  a p



ⁿ ¹ ⁿ ¹ ² ⁿ ³ ¹ ⁿ ¹ ⁰ ⁿ ¹



ⁿ ⁿ

q a _ p ^ ... a pq ^ a pq ^ a q ^  a p

Cette dernière égalité montre que q|a_npⁿ.

Or p et q sont premiers entre eux donc p et qⁿ sont premiers entre eux (propriété du cours).

D’après le théorème de Gauss, |q a_n.

Partie C

Si (E) admet une racine rationnelle de la forme p

q avec p  , q  * et ^PGCD



^{p q}^;



^¹, alors : p | 3 et q | 15.

On peut supposer p entier relatif et q entier naturel non nul.

  

³ 3 ; 1 ; 1;3



D   

  

¹⁵ ^{15 ;} 5 ; 3 ; 1 ;1 ; 3 ; 5 ; 15

 D

^{ } ^ ^ ^

On forme toutes les fractions possibles formées d’un diviseur de 3 au numérateur sur un diviseur de 15 au dénominateur.

3 15 p q 

3 15 p q  

1 15 p q 

1 15 p q  

(4)

3 5 p

q  convient 3

5 p q  

1 5 p q 

1 5 p q  

p 1 q 

p 1 q  

1 3 p q 

1 3 p

q   convient p 3

q  convient p 3

q  

On teste ces valeurs.

Les valeurs ³ 5, ¹

3, 3 fonctionnent.

Ce sont les racines de (E).

(5)

Suite :

Partie D. Une autre application (1)

On pose cos² 9

  .

1°) Démontrer que 8    ³ 6 1 0.

On rappelle que pour tout réel x on a : cos 3x4 cos³3cosx. 2°) Démontrer que  est irrationnel.

Partie E. Une autre application (2) On pose   3 13.

1°) Démontrer que l’on  ⁴ 32 ² 100. 2°) Démontrer que  est irrationnel.