A Équation diérentielle y

Chapitre 1

Équations diérentielles

Dénition Une équation diérentielle est une équation ayant pour inconnue une fonction et qui fait intervenir la dérivée de cette fonction.

Exempley⁰ =y,y⁰ =y+ 7ou3y⁰+ 2y= 4.

Toute solution d'une équation diérentielle est donc une fonction. On ajoute parfois à cette équation une condition initiale comme par exempley(x0) =y0 oùx0 ety0sont des réels.

Nous savons que l'équation diérentielle y⁰ = y a une unique solution qui vérie la condition initiale y(0) = 1: il s'agit de la fonction exponentielle.

A Équation diérentielle y

= ax ( a 6= 0 )

Soitaun réel non nul.

Ceci est un rappel (voir le chapitre sur l'exponentielle) :

Théorème Les solutions sur R de l'équation diérentielle y⁰ = ay sont les fonctions fk dénies par kk(x) =ke^ax oùkest un réel quelconque.

Preuve : On vérie que la fonction est bien solution.

Pour prouver que toute solution est de cette forme, on considère une fonction f qui est solution de l'équation diérentielle et on considère la fonction g dénie par g(x) = f(x)e^−ax. On a alors g⁰(x) = f⁰(x)e^−ax−ae^−axf(x) =af(x)(e^−ax−e^−ax) = 0. Ainsig est constante, égale à un certain réelk. Ainsi

f(x) =ke^−ax. 2

Théorème Soit x₀ et y₀ des réels. Il existe une unique solution f de l'équation y⁰ = ay qui vérie f(x₀) =y₀. Il s'agit de la fonction dénie parf(x) =y₀e^a(x−x0).

Preuve : Une solution est dénie par f_k(x) = ke^ax. Or f_k(x₀) = y₀ équivaut à ke^ax0 = y₀, donc nécessairementk =y₀e^−ax0 et donc la solution est unique et est bien donnée parf(x) = y₀e^−ax0e^ax =

y0e^a(x−x0). 2

→Exercices 1-6p50, 8-11p50-51

B Équation y

= ay + b

On suppose icia6= 0et b6= 0.

Théorème Les solutions de l'équationy⁰=ay+bsont les fonctionfk dénie parfk(x) =ke^ax−b a, où kest un réel.

Preuve :

On vérie quefk est solution de l'équation : f_k⁰(x) =ae^ax etafk(x) +b= (ae^ax−b) +b=ae^ax.

Soit f une solution de l'équation y⁰ =ax+b. Soitg la fonction dénie par g(x) = f(x) + b a. On a alorsg⁰(x) =f⁰(x). Comme f⁰(x) =af(x) +b, on obtient que ag(x) =af(x) +b=g⁰(x). Ainsig est solution de l'équation diérentielle y⁰ =ay. Ainsi,g est est dénie parg(x) =ke^ax d'après la section précédente. Doncf(x) =g(x)− b

a =ke^ax+ b a.

2 1

2 CHAPITRE 1. ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Théorème Il existe une unique solutionf de l'équation diérentielley⁰=ay+b qui vérief(x0) =y0. Elle est dénie parf(x) = (b

a+y₀)e^a(x−x0)− b a

Preuve : On vérie que f est bien solution de l'équation et vérief(x0) = y0. L'unicité vient du fait que toute solution est de la forme ke^ax− b

a et que l'équation ke^ax0 − b

a = y0 a pour unique solution k= (y0+ b

a)e^−ax0.

→Exercices 13-18p51, 20-22p51

Activité 1p44 (démographie avec deux méthodes, équation diérentielle et suite géométrique)