MPSI B 29 juin 2019
Énoncé
Soit a un réel xé non nul et I un intervalle de R. On considère l'équation diérentielle (E
I) ∀x ∈ I : y
00(x) − 4y(x) = π − 4a|x|
où l'inconnue y est une fonction dénie et deux fois dérivable dans I .
1. a. Déterminer les ensembles de solutions de (E
]0,+∞[) et de (E
]−∞,0[) . On les notera respectivement S
+et S
−.
b. Soit v et w deux nombres réels quelconques. Déterminer la solution z
0dans (E
]−∞,0[) telle que
en 0
−: z
0→ v et z
00→ w 2. On note S l'ensemble des solutions de (E
R)
a. Dans les théorèmes de cours sur les équations diérentielles linéaires du second ordre à coecients constants, quelle hypothèse doit vérier le second membre ? Doit-il être continu ou dérivable ?
Que peut-on en conclure pour les éléments de S
+? b. La fonction dénie dans R par
x 7→ − π 4 + a|x|
est-elle dans S ? 3. Déterminer S .
Corrigé
1. a. Les calculs sont immédiats car les solutions des équations avec second membre sont évidentes. On trouve que S
+est constitué des fonctions
]0, +∞| → R
x 7→ Ae
2x+ Be
−2x− π 4 + ax où A et B sont des réels quelconques.
De même S
−est constitué des fonctions
] − ∞, 0| → R
x 7→ Ae
2x+ Be
−2x− π 4 − ax où A et B sont des réels quelconques.
b. Toutes les solutions dans S
−sont de la forme indiquées au dessus. Elles admettent donc (ainsi que leur dérivée) une limite en 0
−. Il s'agit donc de résoudre un système aux inconnues A et B .
A + B = π 4 + v 2A − 2B = a + w
⇔
A = 1
8 (π + 2a + 4v + 2w) B = 1
8 (π − 2a + 4v − 2w)
2. a. Dans les théorèmes de cours sur les équations diérentielles du second ordre à coecients constants, le second membre doit être supposé continu. Il est inutile de le supposer dérivable. On peut donc utiliser ces théorèmes pour l'équation (E
R) . En particulier, d'après le théorème sur le problème de Cauchy, si on se donne un x
0> 0 et des réels u , v quelconques, il existe une unique solution w
0dans S
Rtelle que w
0(x
0) = u et w
00(x
0) = v . On en déduit que l'on peut prolonger toute solution dans S
]0,+∞[à une solutions dans S
R.
b. La fonction donnée n'est pas une solution car la fonction valeur absolue n'est pas dérivable en 0 .
3. L'étude de l'équation homogène est la même que dans la question 1. Le problème est ici de trouver une solution dans R de l'équation complète. On choisit de prolonger la
fonction
]0, +∞[ → R x 7→ − π
4 + ax
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai Aeqd1MPSI B 29 juin 2019
D'après la question 2., on sait qu'un tel prolongement w existe. Par continuité à droite de 0 , on a
w(0) = − π
4 w
0(0) = a
On peut alors obtenir l'expression de w à gauche de 0 avec la question 1.b.
v = − π 4 w = a
⇒
A = a
2 B = − a
2 On en déduit l'expression de w dans R
w(x) =
a sh(2x) − π
2 − ax si x < 0
− π
2 + ax si x ≥ 0
On peut remarquer qu'il est inutile de démontrer que w est dérivable en 0 car on sait d'après les théorèmes du cours qu'il existe un prolongement solution et ce prolongement doit être cette fonction. Les solutions dans S sont les fonctions dénies dans R par :
w(x) + Ae
2x+ Be
−2xoù A et B sont des réels quelconques.
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