Équations différentielles linéaires du second ordre

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES TD

Équations différentielles – TD

Équations différentielles linéaires du premier ordre

Exercice 1

Résoudre les équations différentielles suivantes sur des intervalles à préciser : 1. y⁰+4y=2t²−3t−2.

2. y⁰+2y=e^3t. 3. 2y⁰+y=3×e^{2 it}.

4. y⁰+y=cos(3t)×e^−2t. 5. y⁰+y=t²×sin(2t)×e^−t. 6. y⁰−(2+i)×y=sin(t)×e^2t.

7. y⁰+2y=(t+1)×e^−2t.

Exercice 2

Résoudre les équations différentielles suivantes sur des intervalles à préciser : 1. y⁰−t×y=t.

2. y⁰−3t²×y=t×e^t3. 3. y⁰+5y= 1

1+e^5t+cos(t).

4. y⁰+ y 1−t = −1

t.

5. (1+t)×y⁰+y−1=ln(1+t).

6. y⁰− y

sin(t)+1−cos(t)=0.

7. y⁰=tan(t)×y+sin(t).

8. (1−t²)×y⁰−t×y=1 (on se pla- cera sur ]−1, 1[).

Exercice 3

Résoudre les problèmes de Cauchy suivants sur l’intervalleI:

1.

( (e^t+1)×y⁰−y=₁₊^et_t2

y(0)= −^π₄. (I=R⁾

2.

½ y⁰+a×y=sin(b×t) y¡_π

b

¢=0.

(oùa∈R^,b∈R^{? etI}=R⁾

3.

½ (t+1)×y⁰−t×y+1=0 y(0)=2.

(I=]−1,+∞[)

Exercice 4

1. Soitm∈R. Déterminer f_ml’unique solution du problème de Cauchy : (

(1+t²)×y⁰+t×y=p 1+t² y(1)=p

2×m.

2. Soit m∈R^{. On noteT}m la la tangentes à la courbe représentatives de f_m au point t=1. Montrer que ces tangentes sont concourantes en un point à déterminer.

Équations différentielles linéaires du second ordre

Exercice 5

Résoudre les équations différentielles suivantes surR^: 1. y⁰⁰+y=e^t.

2. y⁰⁰+2y⁰−3y=sin(t)+cos(3t).

3. y⁰⁰−4y⁰+4y=(2t²−1)×e^−2t+t×e^2t. 4. y⁰⁰+y⁰+y=e^t.

5. y⁰⁰−2y⁰+2y=cos(t)e^t.

Exercice 6

Résoudre les problèmes de Cauchy suivants :

G. BOUTARD 1 Lycée GAY-LUSSAC

TD ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

1.







y⁰⁰−y⁰−2y=9e^t−2 y(0)=1

y⁰(0)=0.

2.







y⁰⁰+y=3t² y(0)=1 y⁰(0)=2.

3.







y⁰⁰+4y⁰+3y=t×e^2t y(0)= −1

y⁰(0)=1.

Exercice 7

On considère l’équation différentielle :

t²×y⁰⁰+y=0. (E)

1. Peut-on résoudre (E) avec les théorèmes du cours ? 2. Soitf :]0,+∞[→R. On pose, pour toutx∈R^{, g(x)}=f(e^x).

(a) Montrer quef est deux fois dérivables sur ]0,+∞[ si, et seulement si,gest deux fois dérivables surR^. (b) Montrer que f est solution de (E) sur ]0,+∞[ si, et seulement si, g est est solutions d’une équations

différentielles linéaires à coefficients constants d’ordre 2. On note (E⁰) cette équation différentielle.

(c) Résoudre (E⁰).

Exercice 8

On considère l’équation différentielle :

t×y⁰⁰+2 (t+1)×y⁰+(t+2)×y=0. (E) Soitf une fonction deut fois dérivables surR^∗₊. On pose, pour toutt∈R^∗₊^{, g(t)}=t×f(t).

1. Montrer quef est solution de (E) si, et seulement si,gest solution d’une équation différentielle (E⁰) du second ordre à coefficients constants.

2. Résoudre (E⁰).

3. En déduire les solutions de (E).

Équations fonctionnelles

Exercice 9

Déterminer toute les fonctions dérivables surRet à valeurs dansCvérifiant :

∀(x,y)∈R^2,f(x+y)=f(x)×f(y).

Exercice 10

Trouver toutes les fonctions f :R→Rdérivables en 0 telles que :

∀(x,y)∈R^2,f(x+y)=e^x×f(y)+e^y×f(x).

Exercice 11

On cherche toutes les fonctions dérivables surRvérifiant, pour toutx∈R^{, f0(x)}=f(−x).

1. Montrer que si f est solution du problème, alors f est deux dérivables et vérifie une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.

2. Résoudre l’équation différentielle trouvée à la question précédente.

3. En déduire l’ensemble des solutions du problème Exercice 12

Déterminer l’ensemble des fonctions continues surRvérifiant, pour toutx∈R^, f(x)−

Z x 0

t×f(t) dt=1.

PCSI 2021 – 2022 2 G. BOUTARD