Solution du problème de Riemann pour les systèmes différentiels linéaires du second ordre

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

R ^ENÉ G ^ARNIER

Solution du problème de Riemann pour les systèmes différentiels linéaires du second ordre

Annales scientifiques de l’É.N.S. 3^e série, tome 43 (1926), p. 177-307

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SOLUTION DU PROBLÈME DE RIEMANN

POUR

LES SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS LINÉAIRES DU SECOND, ORDRE PAR M. RENÉ GARNIER

INTRODUCTION.

1. Le 6 novembre i856, Riemann présentait à la Société royale de Gœttingen son Mémoire, classique aujourd'hui, sur les fonctions représentables par ^ la série hypergéornétrique ; si 'l'objet en est quelque peu spécial, on doit observer que dès cette époque il s'était posé le problème dans toute sa généralité. Une de ses.

Notes (1), datée du 20 février 1857 y et publiée seulement dans ses OEuvres, est consacrée à la question suivante : définir analytiquement tous les systèmes de n fonctions y ^ » . . , y,^ holomorphes sur la sphère sauf aux points critiques x = a, ..., g ; en ces points elles ne peuvent être « infinies d'ordre infini » et leurs branches y subissent des sub- stitutions linéaires données. Riemann ramène le problème à la con- struction d'un seul système de fonctions, c'est-à-dire à la formation d^une équation différentielle qui 'doit être vérifiée par ce système;

mais, sur ce dernier point, ses résultats se bornent à une énumération de constantes. Et pourtant Riemann avait entrevu l'intérêt qui s'at- tache a l'étude des y^ considérées comme fonctions delà variable x et des points singuliers a, ...,§*; et il s^était demandé par exemple s'il est toujours possible « die Functionen mit a so m àndern, dass sâmtliche Substitutionen constant bleiben ». C'était là tout un pro- gramme de recherches.

(1) IVerke, erste A-ullage, Leipzig, 1876, p. 357.

Ânn. Éc. Norm^ ( 3 ) , X U Ï I . — J U I N i9a6. 28

Î ^ S • ïUîNÉ GARNIÈÎl.

Cependant, malgré son intérêt uUrinsèq-ue, malgré l'importance de ses applications à l'Analyse et à la Géométrie, la question ne devait être reprise que bien plus tard : à p a r t i r de 1898, M. L.,Schle- singer ( ' ) consacre tonte u n e suite de travaux à la construction d ' u n e équation ou d'un système différentiel linéaire admettant un .groupe de monodromie donné (J; c'est .ce qu'il, appelle « le pro- blème de Eiemahn » pour le groupe ç. A l'équation linéaire il substitue d'ailleurs u n système « canonique » §, dont les coefficients n'ont que des pôles, du premier ordre, a, . . . , g ; d'après un théorème de H. Poincaré, les coefficients des substitutions de c, sont des fonc- tions entières des résidus correspondant à a, . . . , §'; M. Schlesinger cherche à étayer la démonstration d'un théorème d'existence sur l'in- version de ce système de fonctions entières, et cela, au moyen .de la méthode de continuité de Klein et Poincaré. Nous n'avons pas à rap- peler ici les discussions que soulevèrent les recherches de M. Schle- singer; retenons seulement qu'à la même époque (²) il obtenait un résultat des plus remarquables : si on laisse fixe le groupe y, les résidus des coefficients de -s sont des fonctions des p o i n t s singuliers qui satisfont à un système différentiel très simple (3) (A); et du théorème d'existence relatif au, problème de Riemann, M. Schlesinger inférait que les seules singularités mobiles des intégrales de (A) se réduisent à des pôles.

Or, à la même époque, M. .1). Hilbert ( / ' ) appliquait la méthode des équations intégrales à la solution du problème de R i e m a n n pour les équations du second ordre; son analyse fut reprise et développée pour les systèmes d'ordre quelconque par M. Plemelj (⁵) ; elle f u t ensuite

(^ ) C. /?. Ac. Se., t. 1^6, 1898, p. 7-23; Journal filr reine und aitgew. Math., t. 123, IQOI, p. T38. (L'introduction* en tête de ce Mémoire, contient diverses indica- tions sur les travaux de Hiemann et de Fuchs.) — On trouvera d'autres références bibliographiques sur les travaux de M. Schlesinger dans ses Vorlesung'en ûher lineare Differentialg'ieichungen^ Leipzig et, Berlin. 1908, p. 7.

(2) En 190,5, Journ. fur /". und angew.Math^ t. 129, p. 292.

(; t) Voir plus loin ce système au n° 8, p. 188. [Le système est désigné par (A^).]

(ï) Leçons orales du semestre d'hiver 1901-1902 à l'Université de Gôttingeii ; Grunclzûge einer all^emeinerz Théorie der linearen Differentialgifîicfm.ngen, Leipzig et Berlin. l9ï'2, p. w>.

(5) Monatshefte fur Mccth. und Phj's., t. 49, 1908, p. ' 2 1 1 .

SOLUTION DU PROBLÈME DE H I E M A N N . I ^ f )

simplifiée de la manière la plus brillante par M. G. D. Birkholî(¹).

La méthode (²) est particulièrement adaptée au calcul pratique de la solution; mais, à u n autre point de vue, on doit remarquer que. les fonctions non analytiques qui i n t e r v i e n n e n t au-début des approxima- tions n ' o n t avec le problème lui-même que des relations lointaines.

La méthode par l a q u e l l e je résous le problème de Rienaann est entièrement, distincte des précédentes; d'ailleurs, quoique le Mémoire actuel se limite aux systèmes linéaires du second ordre, la méthode s'applique aux systèmes d'ordre quelconque; elle repose essentiellement sur l ' ' é t u d e des solutions du système (^{: î}) (A) de M. Schlesinger autour de leurs singularités essentielles ; cette dernière étude constitue donc avec la solution du problème de R i e r n a n n l'objet propre du Mémoire.

Précisons d'ailleurs i m m é d i a t e m e n t les conditions que d o i t r e m p l i r l'étude de ces singularités : pour attaquer le problème par cette voie, il ne suffirait pas de connaître des développements représentant certaines intégrales; il faut encore avoir la certitude c/ue TOUTE intégrale peut être représentée par les développements obtenus,

J'indiquerai brièvement les résultats p r i n c i p a u x et la d i s p o s i t i o n générale du Mémoire.

2. La première Partie est consacrée à la formation d'un système dont je substitue l'étude, à celle du système différentiel (A) de M. Schlesinger. Quelques précisions sont ici nécessaires. Soient

.,...r==^, . . . , ^ , ^ i ( = = = o J ) , / ^ + _ â ( = i ) , ^.^(sïEco)

les points singuliers du système linéaire rS; le groupe de mouo- dromie <J étant actuellement du second ordre, le système (A) est d'ordre ^n -+- 8; il admet d'ailleurs 2 ^ 4 - 7 intégrales premières algé- briques (I) et u n groupe continu ce1 de transformations ; on prévoit donc que son ordre pourra être abaissé à 2/2. Mais, parmi les inté- grales (I), n + 3 sont du type quadratique : a prioriy il n^est donc nul-

( '1 '} Proceed. of thé Amer. Acacia t. 49, 1 9 1 3 - 1 9 1 4 . Boston, 1 9 1 4 * p- 5'Ai,

(2) Cette méthode ramène le problème à un autre dont Porigîne remonte aussi à Riemann : construire deux matrices de fonctions définies l'une intérieurement, l'autre extérieurement à une courbe fermée continue et liées sur c e t t e courbe par des rehi- . fions linéaires données, à coefficients susceptibles de discontinuités.

(3) Ou plutôt d'un système analogue (Gn) ; ^ n° ^ï p- 180.

1^0 ' RENÉ G A R N Î E R .

lement évident que la formation effective d^un système résolvant (A^) d'ordre 271 soit pratiquement possible.

Or, au lieu du système linéaire S y envisageons l'équation équiva- lente du second ordre, E^; elle possédera n + 3 'points singuliers effectifs,: et, en:outre, n points apparemment singuliers, À,, . . . , À ^ ; pour que son groupe soit indépendant des ^-, il faut que X^ .'.., '/^

envisagés comme fonctions des ^- satisfassent a un système différentiel d'ordre ^n seulement : c'est le système (/„, F^) que j'ai formé dans ma Thèse ( ^ ) par une voie qui d'ailleurs est complète'ment indépen- dante de celle que M. Schlesinger a suivie pour former le système (A).

Toutefois, Fétude directe de Çfny î\) aurait présenté actuellement de graves difficultés : comme je l'ai montré, ce ne sontpcis les À, mais leurs combinaisons symétriques qui. ont leurs points critiques fixes : l'étude locale d'une singularité fixe aurait donc été compliquée par l'accumulation des points critiques qui permutent entre eux les T^-; et d'autre part les fonctions symétriques élémentaires des ~kj ne paraissent satisfaire à aucun système différentiel simple. Fai pourtant réussi à montrer que les combinaisons symétriques

j— //. ^-+-2

J ^) ^l'I (^~-À,); O(.r) ^]J ( ^ ~ 4 ) ; À- = i .

L ;'=i /c='

^=IT^ . ^(^)^I'I(^~-À,);o(.r)^'I"J(^~4);Â-=i, . . . , ^ 4 - 2 L ;'=i /c='

combinaisons liées par les équations (d'un usage constant dans ce Mémoire)

rt-+-2 //•4-2

^ ^ Â - = = 0 , ^ ^tfczk^ l

A:-==1 • /k-==i

satisfont au système très simple que voici (²) :

(G '} ^--^^L⁰^⁰^ •¹ • '

/;/ àfj "~ ^.T-^ ^ àti àti

' • -^ - — — ^ — — — — V N -4-————— àzk^ D— — / ^_____V

^..(^-^Z^-^i^^.^ . •,

- 1 1 , ! ! ! ! À == 1 ! ' , ! . ! ! ' ! ! .. ! ! !.

[avec N^^f^Y+^-^1 L a^i \ ^ { / 2a,.(4-f;)J ( ' ) A»7i. 5c. £'c. Norm,. Sup., 3' série, t. 29, 1912, p. 73-86.

(2} Les constantes c?/,, D figurent déjà dans l'équation, linéaire (En).

• SOLUTION DU PROBLÈME DE RÎEMANN. l8l

et "

(^) ^(^- 4) ^ + ^ ( 4 - tk) ^ 4- ^(^- ^-) ^ = o.

. <^7- ^/. ^&/ /

On verra que ce système peut être obtenu soit à partir du système (A), soit à partir de (/^. F^); du même ordre différentiel que le second, il participe à la simplicité de forme du premier; il relie, de la manière la plus naturelle, les deux systèmes l'un à l'autre et il peut être pris pour la résolvante (A') de (A). Ses intégrales-^ auront leurs points critiques fixes; ce sont ces fonctions dont j'analyse les singularités dans ce Mémoire.

. Cette étude, je l'avais déjà entreprise dans un cas particulier : pour l'équation (VI) de M. Painlevé (^î) , qui n'est autre que (Fi); mais le procédé qui m\i permis d'étudier {gny G^) est entièrement noweau : afin de bien marquer cette différence, j'ai pris pour règle générale de ren- voyer au Mémoire précédent pour toute démonstration procédant directement d'une démonstration analogue de ce dernier Mémoire.

3. Résumons rapidement les résultats obtenus dans l'étude des singularités'essentielles (qui sont toutes de même nature). Faisons tendre ^ verso, les autres points singuliers restant fixes, et considérons la région

(R) — — •4-î)5argT$—'- —T| (•/)==: nombre positif arbitrairem en l petit)

2 3

du plan T = Log(^- : t°). On peut former par approximations succes- sives des développements qui représentent les ^. le long des rayons A issus de l'origine 0 et appartenant à la région (R). Comme pour VI, ces développements sont de deux espèces; pour ceux de première espèce, il existe un nombre réel ^ ( o ^ œ <; i), variable avec A, tel que quand T décrit A, l ^ l¹" ^ ! ^ - reste borné inférieurement; pour ceux de deuxième espèce, j^- ""^l^l est borné supérieurement. Mais les approximations actuelles nom aucun rapport avec celles de VI : pour la première espèce, la variable indépendante participe aux approxima- tions; elle est développée en fonction d'un paramètre auxiliaire; ce

(1) Aizn. Se. ' Ec. Norm. Sup.y 3e série, t. 34, 1 9 1 7 , p. a39-353. Désormais, ce Mémoire sera désigné par la notation [VIj.

182 ' R E N E G A H M E R .

,,même paramètre sert aussi à l'étude des cas exceptionnels qui sont.

plus nombreux que pour VI. Pour la construction des caractéristiques de deuxième espèce il m'a fallu introduire, des fonctions auxiliaires, qui n'existent que pourn^>ï. La discussion des divers cas possibles (de première et de deuxième¹ espèce) est longue et minutieuse; elle fait apparaître aussi des circonstances -qui ne se produisent pas pour l'équation (VI). Ajoutons enfin qu'entre les caractéristiques des deux espèces^ les similitudes de propriétés sont moins fréquentes pour n ^> i que pour n = i ; ainsi, iF existe 2^ intégrales holornorphes de pre- mière espèce; il y a, au contraire, deux séries cc²⁷^ d'intégrales holo- morphes de deuxième espèce.

4. Les démonstrations de convergence une fois achevées, l'exemple de l'équation (VI) laisse prévoir la possibilité de représenter une inté- grale dans toute la région ( R ) dès qu'on saura trouver une caractéris- tique qui la représente sur un rayon quelconque de ( R ) ; mais un problème fondamental se pose aussitôt :

Étant donnés une intégrale QUELCONQUE de (G-n) et un rayon de (R), existe-t-il une caractéristique qui représente Vintégrale sur ce rayon?

La réponse, qui est affirmative, fait l'objet de la troisième partie.

La première méthode que j'avais employée pour résoudre le problème actuel était une extension de celle qui m'a servi dans le même b u t pour l'équation (VI); mais, depuis, j'ai obtenu une démonstration bien p l u s simple. Cette démonstration est fondée sur la méthode de récur- rence dont M. Emile Picard (^<) a déjà montré l'efficacité dans des problèmes analogues : pour (G/) ( é q u a t i o n VI), la propriété est établie; admettons qu'elle ait été d é m o n t r é e pour ( G ^ _ , ( ) et montrons qu'elle est vraie encore pour (G,/).

A cet effet, considérons u n e intégrale [ z ] de (G/^), définie au point /^. ..., /^ par des conditions initiales quelconques; tout revient à montrer qu'on peut faire tendre ^ vers o de manière q u e certaines fonctions auxiliaires, R^, S, U^ouV/c, tendent vers des limites bien déter- minées* Or considérons [^] comme/onction d^an autre paramètre, soit /^ ;

( i ) Traité d'Analyse, t. 2, ^ édition, Paris, KJOO, Cbap. XVI, n⁰⁸ .i, S, îi,

SOLUTION DU PROBLÈME DE R Ï E M A N N . 183

faisons tendre în vers i ; (G^) tendra vers un système (G-n-,) (conte- n a n t une constante arbitraire et suivi d'une quadrature). La proposi- tion étant admise ^pour (G^_,), un théorème classique de H. Poincaré montre que pour 11^ -- 11 assez petit, les fonctions auxiliaires tendent vers des limites quand ^ tend vers o; reste à établir que le fait subsiste lorsque in tend vers t^. Mais admettons que sur le chemin suivi par t,, il y ait un point, d'arrêt ^ ; les limites de nos fonctions auxiliaires consi- dérées comme fonctions de ^ satisfont à un système (G^-, ) et à u n e équation de Riccati; ^ tendant vers ^, ces limites sont mérornorphes;

on montre d'ailleurs qu'elles ne peuvent avoir de pôles; dès lors, elles restent bornées quand /„ tend vers ^ et le r a i s o n n e m e n t s'achève aisément.

5. Ce point fondamental, établi, on peut étudier en toute sécurité l'allure de l'intégrale générale dans la région (R) :„ c'est l'objet de la quatrième Partie. ( R ) peut être divisée en secteurs, et cela, de deux manières différentes ; les secteurs (S⁷), (S^) des deux décompositions empiètent mutuellement, les médianes des uns servant de frontières aux autres. L'intérieur ,.('*) d\m 'secteur (S') [(S^)] de première (deuxième) espèce constitue la région de convergence d ' u n e famille de caractéristiques de même nom ; à l'intérieur de (S^) les Zj,\k -=f^ i, n 4-1) tendent^ pour T == os, vers une même limite bien déterminée; parallèle- ment a la frontière commune de deux secteurs les z^, sont indéterminés ;

^équation z^ = G possède deux suites infinies de racines, qui tendent à se succéder périodiquement clans la direction de cette frontière c o m - , mune ; il n'y a d^exception que si G coïncide avec F une des deux valeurs asymptoliques limitrophes. Ainsi le domaine d^indétermination de z^ au point ^-== o comprend tout le plan; conformément à la terminologie-, introduite par M. Painlevé, il est donc préférable de qualifier cette singularité à'essentielle (²). A l'intérieur de (S"), -s; est asymptote à une expression de la forme a^? -+- (âç^-j- Y, l^ exposant s augmentant de deux unités lorsquon passe d^un secteur au contigu; les fonctions auxi- liaires R.^ S? U^., V^. jouissent de propriétés analogues à celles de z^ et

{l) C'est-à-dire l'ensemble des rayons de (S') ou (S") faisant avec ies frontières des angles supérieurs à un nombre positif arbitrairement petit 'f\.

(2) Au lieu de transcendante, terme employé pour VI.

l84 ^tm GARNÎEft.

chaque fois, on peut vérifier sur ces fonctions les théorèmes établis par M. Monte! et d'a-utres auteurs.

Ces résultats doivent être modifiés dans les cas exceptionnels, ou, encore, lorsque l'exposant s a une valeur réelle, ^o (° ^o <^ï)* Quand s tend vers une valeur réelle y (R) finit par ne plus constituer qu'un seul secteur {de première ou de deuxième espèce); à.rintérieur de (R) les fonctions ^ ^,.. - admettent toutes des valeurs asymptotiques, finies ou non : les zones d^ indétermination sont sorties de ( R ) ; au lieu d'une singularité essentielle, on n'a plus qu'une s i n g u l a r i t é transcendante (ou algébrique, si s est rationnel et 7^0). Une dégénérescence analogue se rencontre, au moins partiellement, dans les cas excep- tionnels.

La théorie précédente m'a permis de caractériser, de la manière la plus simple; ^allure des intégrales A^,/ du système (A) de M. Schie- singer : le long de tout rayon intérieur (au sens strict) à un secteur clé deuxième espèce, les A^ Çk-^ î, n• + i) admettent une valeur asympto- tù/ue (constante dans le secteur), et les A^, A^"¹ d e v i e n n e n t infinis comme s^ Parallèlement aux frontières du secteur, les A^/ et les ^-A^, t^A^sont indéterminés,les équations A^, = C, par exemple, admettant une double série de racines (sauf si C est l'une des deux valeurs asymptotiques adjacentes).

Lorsque les paramètres d^ ' D Ç / c === ï , . . . , , n 4- 2) qui entrent dans (G^) satisfont à une certaine relation, (G,/} admet comme solutions particu- lières des quotients de fonctions hypergéométriques d'ordre supérieur;

l'élude directe du point singulier est alors facile et concorde pleine- ment avec les résultats précédents.(cas exceptionnels) (4) .

(1) Le cas de n == i comporte en outre une vérification remarquable : dans son Mémoire couronné sur les fonctions algébriques de deux variables indépendantes (Journ. de Math. pures et appi^ 4e série, t.5, 1889, p. 298-300). M. Emile Picard a formé une équation ('soit V î o ) q'-'i €st un cas particulier de VI; on l'obtiendrait actuellement en faisant n == i,<a?i== o == û?2=== ^3== D. L'intégrale de V î o est de la forme 9(AiO»i-+ A ^ œ ^ ; ^), où y (u, t) est une fonction elliptique de Uy admettant c^

et co^ pour périodes, et t pour module. La décomposition de (R) en secteurs se rat- tache alors à la décomposition du plan u en bandes de parallélogramïnes de périodes.

Peuit-on intégrer par un procédé analogue le système (Gn)(n>1) lorsqu'on a annulé toutes les constantes d^y ..., dn^y D? La question paraît difficile; il serait intéressant de pouvoir y répondre affirmativement.

SOLUTION DU PK035LÈME DE RÏEMANN. r85

Grâce au résultat fondaniental de la troisième Partie, les proposi- tions obtenues sur la singularité ^-== o acquièrent une grande impor- tance : elles s'appliquent à toutes les intégrales d'une classe de systèmes différentiels (G-^), d'ordre arbitrairement élevé, et dont le degré de géné- ralité est le même que celui des équations linéaires du second ordre, à coefficients rationnels et à singularités régulières; les intégrales de ces systèmes sont méromorphes partout, sauf en certaines singularités dont le mécanisme est désormais connu. Il est remarquable que l'élévation de l'ordre de ( G^) ne complique aucunement ce mécanisme .' dans leur ensemble, les résultats établis pour VI [décomposition de (R) en secteurs, v a l e u r s asymptotiques à l'intérieur des secteurs, quasi-périodicité et indétermination complète parallèlement aux fron- tières] subsistent pour (G^) (1). Ajoutons enfin que les systèmes (G^) constituent le premier exemple connu d\me classe de systèmes^ d'ordre non limitée dont les intégrales sont irréductibles aux fonctions élémen- taires et dont Fétude des singularités est complètement achevée.

6. La dernière Partie de ce Mémoire est consacrée à la résolution proprement dite du problème de R i e m a n n ; / ^ méthode de récurrence^

dont on a reconnu plus haut l'efficacitéy va jouer une fois de plus un rôle prépondérant (²). Supposons qu'il s'agisse de former une équation linéaire du second ordre (E/^), de singularités régulières oc = t^ ...,

^, o, i, -xi, admettent un groupe de monodromie donné, Qn '' ce groupe dépendra de 3n 4- 3 paramètres. Supprimons de (j^ la substitution S^

relative au point x = t^ nous obtiendrons un groupe ^-o et ^pourra être défini par les 3n paramètres de <^-.i, par l'invariant J de S^ ^r— qui d é t e r m i n e à un entier près l'un des coefficients de (E^) — et par les invariants Jo? Ji des substitutions S^S,^,, S^-S^ correspondant aux lacets enveloppant les points (^-, o) et (^ i). Ceci posé, le problème de Biemann pour <j^ revient à choisir la solution [ z ] d'un certain sys-

(1) Par là, les systèmes (G/i) se rapprochent des systèmes linéaires réguliers (ou irréguliers) dont les singularités présentent aussi le même type, quel que soit l'ordre différentiel.

(2) II me paraît hors de doute que la méthode de récurrence s'imposera dans d^autres problèmes : par exemple, pour étudier l'irréductibilité du système (^, G,;) au sens de M. J. Drach.

Ann, Éc. Aww.,(3), XLIIL — JUIN 1926. 24

l86 R E N É GARNÎER.

terne (^î) (&„) à l'aide de laquelle il faudra exprimer les coefficients de (E^) pour que le groupe, de (E,J —• qui est déjà indépendant des ^ — coïncide avec (j\. Ofy faisons tendre ^-vers o; (E,J tendra v e r s - u n e équation (E,,__i) possédant un point singulier de moins et à (E^_i) sera associé un certain système (G^_i); mais on montre que les limites (²) pour t^= o des intégrales [ z ] de (G^), considérées comme fonctions de ^ / . . . , t/_^ t^, ..., ^ coïncident avec ces intégrales de (G^_i) qui résolvent le problème de Riemann pour (ç^_i) : ces limites peuvent donc être considérées comme connues (³). Or elles figurent parmi les données qui permettent de construire une caractéristique de \z\ par approximations successives; la seule donnée q u i ne résulte pas des considérations précédentes se réduit à la valeur z^ prise par z^ en un point ?? voisin de £^== o. En définitive, tout revient à choisir z^ de manière que l'invariant de la substitution S^S/^soit égale à J^.

Or, dans le langage des caractéristiques, ceci signifie qu'une cer- taine fonction rationnelle o^des ^,et de leurs dérivées doit tendre vers une limite donnée a quand ^ tend vers i suivant un chemin déterminé.

Pour trouver s°^ je montre d'abord, en m'appuyant sur les résultats de la quatrième Partie, qu'on peut déterminer •s^i^-) de manière à satisfaire à l'équation a;==a en un point ^ suffisamment voisin de zéro. La chose est possible de deux manières différentes : cela tient au fait que pour une intégrale déterminée [s] l'équation a ^ = = a possède une double série de racines^ et ceci s^accorde de la manière la plus remarquable avec l'existence de deux groupes <j^ admettant comme invariants J, Jo, J^ et ceux de <?,,_,i.

La solution 5°^ (^) une fois acquise dans le voisinage de ^== Q, on montre en s^appuyant sur u n théorème de M. Painlevé et sur le lemme de Borel-Lebesgue que ^^(^) ne saurait devenir indéterminé quand

^ tend vers i.

Pratiquement, la solution effective du problème de Riemann p a r l a méthode précédente n'exige qu^un nombre fini de prolongements analytiques; tout procédé q[ui simplifie l'opération du prolongement

(1) (G/;) peut êire écrit explicitement dès que l'on c o n n a î t Ç^.

(2) L'existence de ces limites est assurée d'après la troisième Partie, et l'on peut reconnaître une fois de plus ^importance de cette partie dans le Mémoire actuel.

{3) La m é t h o d e de récurrence ne serait plus applicable à un groupe Ço; mais c'est précisément le problème traité par R i e m a n n .

SOLUTION DU PROBLÈME DE RIEMANN. 16']

simplifie donc, au point de vue pratique, la solution précédente.

Signalons encore une conséquence de la méthode. Considérons deux équations (E,^i) admettant le même groupe de monodromie mais dif- férant l'une de l'autre par les racines r\ r " de l'équation déterminante relative au point x ==. o. On peut les considérer comme provenant d'une même équation (E^), possédant un point singulier de plus, a? ==== l^

par deux passages à la limite différents; p o u r - l ' u n e et Pautre de ces équations étendra vers o suivant des chemins distincts (spirales loga- rithmiques, transformées de deux rayons de ( R ) : la décomposition de ( R) en secteurs est liée ainsi à V existence d'une injin lié cl^ équations ( E// ) admettant le même groupe; et l'indétermination de /'^/, r" (définies à un entier près) se rattache à l'indétermination de.? signalée plus haut (n° 5).

Ajoutons enfin que la méthode actuelle résout le problème de Riemann (au sens généralisé) pour les équations irrégulieres; j'ai montré (¹) en effet que ce problème n'est qu^un cas-limite du problème actuel(2).

7. Notations. — Signalons dès maintenant la signification des nota- tions suivantes qui seront d ' u n usage constant : u n e lettre placée en exposant après le signe S représente une valeur interdite à l'indice de sommation. Pour abréger plus encore l'écriture 9 on a introduit les symboles 2', S⁷⁷, S^; ils désignent des sommes où 'l'indice de somma- tion varie de i à ^ 4 - 2 et ne peut prendre soit la valeur ^ soit les valeurs i et n -h ï y soit enfin les valeurs i, n 4- i et n -h 2.

PREMIÈRE PARTIE.

FORMATION DU SYSTÈME (^, Gj.

8. Les systèmes (A^,) et (/„, F , , ) . — C o n s i d é r o n s un système diffé- rentiel linéaire S, d'ordre m, à coefficients rationnels et dont tous les points singuliers ^ = ^ , . . . , ^ 3 sont réguliers au sens de L.Fuchs;

(" ) Journ. de Math., 8e série, t. 2, 1919, p. 191. Ce dernier problème a v a i t été traité différemiïient par M. G.-D. Birkhoff (loc. eu., p, o5i).

(2) Les résultats d u Mémoire actuel ont été résumés en partie dans trois Notes des C . J R . A c . Se., t. 178, 19-24, p. 1674; t. 179, 19-24, p- ioa6; t. 181, 1925, p. 1046.

ï88 • RENÉ GÀBNÏER.

moyennant une substitution linéaire sur x on peut supposer t^ = o, î^=î, ^3 == xî. Posons-nous alors la question suivante : Peut-on choisir les coefficients de S en fonction des ^ de manière que S possède un système fondamental de solutions dont le groupe soit indépendant des ^-? Si S possède cette propriété, il en sera de même de tout sys- tème § déduit de S par une transformation linéaire (S) à coefficients rationnels e.n x\ on pourra donc supposer que § se réduit au système canonique (¹)

w ^-i ïï^

et, pour que § réponde à la question, il faut et il suffit, comme l'a montré (a) M. L. Schlesinger que, moyennant une transformation préalable (S) effectuée sur s, les A^ vérifient le système

^ A ^ ^ y A ^ A g v - A g [ p A ^ àti "~ JL tk—ti

A/,) p==l (A-7^').

2

7 = 1

Or, dans ma Thèse, j'ai traité le même problème pour l'équation linéaire du second ordre, à singularités régulières

( j7 \ i ^y — v

^-

-

' n ) y dx1 ~ ^{sc—tiY x { x — i )

^ ______

^_____ ,v r ^ , __py .. 1

' Z ^ ( ^ - - i ) ( ^ — ^ ) ^ ^ L 4 ( ^ - V ^(^~Q(^~^)J'

'

--

(1) Les indices supérieurs des A ne sont pas des exposants.

(2) Voir par exemple Vorlesung-en, ûber lineare Differentialgleichungen^

Leipzig et Berlin, 1908, p. 3'2o. Voir aussi R. GAiiNiliR, Rend. Cire, Mat. cli Palermo, t. 43, 1 9 1 8 - 1 9 1 9 , p. 159-164. Le système (A^) est complètement inté- grable; la notation des matrices permet de le vérifier aisément; on observera seule-

./, . , , , . ^ A7 . à^A./ . . . ,

ment que la vérification delà relation -,—.——-——— exige p o u r / == i ou k un examen ot^ot/^ ' uï/ç otf.

spécial.

SOLUTION DU PROBLEME DE RIEMANN. 189

où les 'kj sont des points apparemment, singuliers, et où les c^ sont des constantes indépendantes des ^-; j'ai établi que les Ây doivent vérifier par rapport aux ^ le système que voici :

. y^:)^--^) ^ _ ^ ( / / : ) ( ^ — / y ) ^ _ _____^——^. ? ( A y )

{ J n ) 4^-) àt, 4 ( 4 ) ^/. ~~ (A,- Q ( À — — ^ ) ^ O y ) '

^ ^-'

fî^ -i^Mt ^Y^T-^^-^I^

' "/ ^ ~ ^ L p O y ) 2'y(À,)J\,^J L2^) ^ ( ^ ) J ^

^ V7 y ( Â , ) ^ ( Â , ) ( 7 . / ~ - ^ )2 f ^ y

"^r' 2 ^ ^ C ^ Î ^ O v ^ ^ v ^ ^ ) ^ ^ — ^ ) ^ ^ ^

/ = !

Ày — ^. ^Ày Ô^i

-Ï

'~1 ^W < P ( > y ) lç/ 2( ^ ) ( ^ - ^ )2 ^(^)

r~ ' '// •+• ;5 /•» » -4— — I

^ / 3 \ , ^^'(^) 4 . y^-) ^

><

Z^-

-^"'

'^ ^^i7r^.

47(7^X7^.•

[avec 9 ( ^ ) = ^ ( ^ — i ) ( . r — ^ i ) . . . ( ^ - — ^); ^ ( . r j = ( ^ — ^ i ) . . .(.r—'U];

quant aux a^ et et aux py, ils s'expriment rationnellement en fonctions des t^ des \j et des -,—•

Ceci rappelé, nous allons montrer, comme nous l'avons annoncé (n° 2), qu'on peut remplacer pour notre problème les systèmes (Aa) et (/^, ïn) P^ ^n système plus simple {g^ Gn)9 Nous allons d'abord former ce nouveau système en partant de (As).

9. Première transformation de (A^). — Pour m = 2, (A^) s'écrit

/ n + 2 n. •+• 2 . . ) A Â - A2 kk À7 1' A ' ^ A ^ ' ^sn ^ À ^ X-^ ^A7"' t/A 1 1 __A /c A l A '• __ A A^ 2A2 1 — — -^li '"-^i __ __ A A ' ri A " •wr-^ /'? A " •^r^i n A ' L m22 . ^ € 7 A1 1 _^ Q ^. V1 t / AS 2 .

A < 1 __ A ^ A g ] — — A ^ ^ ^.^ ^^ _ L m22 . ^ € 7 A1 1 ^Q ^^ ^""12 .

^7~— ^ - — ^ ~ àti J Z»à àti ^ àti '

 - = = l /c==î

1 n+a

, A , ; ^A.^ A',, A ^ - A ^ A ^ + A ^ A g . - A ^ A ^ . V ^A^ _

(A2) -^T""'——————————'t^T.—————————> 2i-^T-0'

f c = l

ÔA^ _ A^A^A^ Mi + A ^ A ^ - Af, A,,. y ^ A ^ ^ ^-

^z/' "^ . ^•— ti 3 M àti

lî s= 1

iqo RENÉ G A R N I E R .

Ce système, d'ordre ^n+8, admet les intégrales premières que voici :

n -+- i il •+- 2 : C O I Î S t . , "^

k^:ï

A f i - i - A ^ r r r c o n s t . , 'V A^'i == const., " ^ A^=: const. ;

1 n-+-2 n-h'J!.

1 A ^ A . ^ — A ^ A S ^ c o n s t . , Y A f ^ const., S ^ S i ^= const.,

]!• _ i t. — i

ces intégrales se réduisent d'ailleurs à 2/2-4- 7, car celles de la première ligne sont liées linéairement. Or, en faisant sur les matrices A^" la transformation ({) A^—c^ B^c, où c est une matrice à coefficients indé- pendants des t.i et de k, et en multipliant lesj par u n e expression de

n +2

la forme TT(^— tk^\ o11 P^l- supposer

K=ï

n •+• 2

(2) A f , 4 - A Î , = = i , S ^²^ ^ 2'^^

^ .S^^^'^

/t-=l. A = l

£ étant une constante numérique qu'on peut prendre égale à zéro dans le cas général où l'on a

(

) ' 2^' ^S^-

' 1"! ' À-=='l , Â - = = l

nous écrirons en outre

( f.\ A/1' AA A k A/ c _ x ~

( f\ A/ 1' AA A /c A/ c _ 1 — MA-

(.4; A^\Alîï—^^^ai——7—•

',4; •'• \ i ^A 2 2 — ^A i 2 •'^a i — —/

Les solutions de (Aa) satisfaisant aux conditions (2) et (/i<) — où les dk sont donnés — vérifient nécessairement un système diffé- rentiel (A^) d'ordre in -h i ; inversement, les coefficients de (A'g) dépendent de TI + 2 constantes arbitraires, les d^ et, de toute solu- tion de (A^), on déduit oc/^5 solutions de (Aa) moyennant les deux transformations précitées qui contiennent, la première trois constantes, et la seconde, n + 2 : les p/<:.

(1) L^opéraiion revient à faire sur un Système complet de solutions de S la trans- formation yî-^c.

SOLUTION DU PROBLÈME DE ÎUEMANN. 191

D'autre part, dans le cas général (') le système (A^) pourra toujours être ramené à un système résolvant (A^) suivi d'une quadrature : car le système (Aa) et les équations (2) — avec £ = o — et (4) ne changent pas quand on remplace les A^ par CA^ et les A^ par C^A^y C étant une constante arbitraire. Pour former (A') nous sommes ainsi conduits à prendre pour fonctions inconnues les quotients

^/.~= ji-^———»At.

2^-

qui restent invariants dans la dernière transformation. Les z^ satis- feront évidemment aux relations

// -1-2 H-+-Ï .

( 5 ) ^ ^zk~=oî S ^ '3^1 7

qui seront d'un emploi constant dans tout ce Mémoire ; elles entraînent les équations, souvent utilisées également

(6) ^(^-^,=1, I^,-^,)^ :=---.s,

Ainsi, il n'y aura que n quotients z^ linéairement distincts; toutefois, pour la simplicité de l'écriture, comme, plus tard, pour la discus- sion de la singularité ^-=o, il est indispensable de conserver l'en-

semble -S,,, . . . , ^n+.2<

II s'agit maintenant de former le système résolvant vérifié par les ^/c;

à cet effet, posons

, , _ A ^ ' i — A S . ^ H / , ;

d'après (2), on aura

^ .-,l±J!^ ^ -In!^.

A ,, ,, —— ^ J J-\ ^ ^ —— ^ ,.

et, de plus, d'après (i), on peut écrire

//•+-2

(7) ^H,=y/D-i,

(1) On verra plus loin (n0 1 1 ) que le résultat subsiste quand (3)n^est plus vérifiée et que Fon doit prendre s 7^ o.

192 RENÉ GARNÎER.

\/D étant une constante, qui d'après (3) est différente de î clans le cas général. Posons encore.

général. Posons encore

ÎI-+-Ï

y,4A^=À

7c==l

(de sorte que A^ == À^); il viendra, d'après ÇA.^)^ (p. 189),

^ = A f ; , 4 - ^ ( ^ - ^ ^ = A/. , + 2/( A/, , I - I , - ~ AA, H , - )

OCi Uii

= A , , -+- ( ^/D — r — H,) A ^ , -4- A ^ H,, soit

(8) I-V0^-

Dès lors, on vérifiera aisément que le système (A^) est équivalent au suivant :

/ n-f-2 ' /î-+-^

^ ^ A ^ , = = À , A i , = À ^ ^^^:::::oî

^j ^ ^ 2 1 ^ ^ ^-2.1 ^ ^ ^ ^

À - = l /.-=i

À-=I /.-=i

M^^, ^=^ 1 — — — — ^ — — —î ^ 2 2 = — — ^ — — — ^ Z ^ " ^î——ih, YH^V-D-I;

( B ) ^ V ^ ^, ,/. ^ ^~H|. r)À _ . „ ,^ A ^ - e , . A , , - . - , ^ — — , . ^D7.^.,^ = £ , . A , = = — — — — - , - _ = ^ D À ^ . î 4 À ^ ^^•

^•==1

( A — ^ ^ - ^ ^ ^ A ^ . - ^ A ^ ) .

^ / A - ^ ^ , \ ., ^ { à ^ k /^r \ ,. rr V'^^+1, ^ - + 2 / l (^ "~ ^) ( '^7" 4" v0 ^ ^ = ZiHk—ZkHi ' /

\ \ oh /

qui est complètement intégrable, comme (Aa). Les équations (B)4, (B)g des deux dernières lignes de (B) ( o u ï prend toutes les valeurs permises) sont au nombre de 2/1(71+1); siPon écrit à part les 2n -+- 2 équations de ces deux lignes qui répondent à une valeur fixe de ?, il en reste encore 2(n2 — î) que l'on transformera comme il suit.

10. Formation du système résolvant (^, G^). — Tout d'abord, on a

SOLUTION DU PROBLÈME DE RIEMANN. ï G}3

évidemment (^î) , quels que soient À et k(=^ n -h ï et n 4- a)

()5/, _ r^/-

(()) 'Jï-^'

Formons alors la combinaison ^ —^: — .SA- —' où h, k, i sont trois •

ati dCi

entiers distincts; les relations (6)5 donnent aussitôt

àzj, à^h

zh~à^~~'zk à£,

^ ( ï ^f \\ ' ^f^^ , ^i^k^h _ ^yJIz 1 ,

- ^k ïh} |_(^_ ^) (^ ^ ^ (^_^ ^.) (^,_ ^ -

- .(^_ ^) ^,—i^y

la quantité entre crochets étant symétrique par rapport aux trois indices, on en déduit les relations

as/, ! ! as/, 1 1 àzf, . 6?,s, ^/ __ àzk 1 1

^/& ^ "" •'" ~àtl ^ zi ^ "" ^/J' ^ ^ ^Â' àt^ si àt^

( t o ) ^--^ """ t h — k - ti—£/,

(si run des indices, h par exemple, est égal à jz -\-1 ou 71 + 2, on supprimera le rapport qui contient les dérivées par rapporta ^).

Or, à l'aide de (9) on peut remplacer les équations (10) par les sui- vantes (au nombre de 7i² — ï) :

à^_h __ tk——_tî_ Z } , àZk th— ti . ^ k . à Z l , '" • fk-^i, fZ 4 - î , IZ-+- 2 \ (^) àtk~~ tk—tf, Zi àti t f , - t k Z i àtt \ h-^k )' .

et ces équations [qui à leur tour entraînent ( 9 ) ] peuvent s'écrire sous la forme symétrique équivalente

\gn^ ^ ( ^ - ^ ) ^ + ^ K ^ — — ^ ) ^ + ^ ( ^ - ^ ^ - 0

Si on leur adjoint les équations de forme analogue, relatives aux H^

(et qu'on formerait par un procédé identique), on aura obtenu les 2(7î²—i) équations cherchées; ces équations permettent d'exprimer toutes les dérivées des ^ et des H^ par rapport aux ^ à l'aide des déri- vées prises seulement par rapport à ^.

( i ) Les équations (9) résultent à la fois de (8) ou de ( B ) s .

Ann. Éc.JVorm., (3), XUIL—JUILLET 19^^ 25

ÏC^j MENÉ GARNIER.

Considérons alors ^- comme seule va'rial)le, et montrons que les -s/c satisfont (par rapport à ^-) à un système différentiel d'ordre 2n.

Pour abréger l'écriture, posons

(ii) (4-^)te+v/D.^^)-M, ( A - ^ i ) ;

\ <7(.z /

les équations (B)y et (B).ç ^deviendront en vertu de (B)3

^H,~^H,=M,,

/ / , ^ à V [ / , s/. .^- - ;=/:.H/.-t- ^/-H/- 2(^,— ^) —— =z rf— — a/,— 4- M/,———————5

C^ ^i Zk ^i^k

et d'après (B)^ on, tire de là

. . àMk _ ^'àH^ „ ^ , à(^ïik)

(îfî)

^~

2u^~"

w^~àt^~

^ . V1 dizi—dî^ s/, ^1 M/,(1M/,4" 2^/,H;) ^ àzf,

~zk2d <2^—ti)Z,Zf, ^ Zd ^^f^ti)z/, i àti

d^-dkz] M/,(M/,-4-2.^.HQ M/.+.s/.H,^:

2 ( ^ . — ^ )5/ ; ï{tk——^')^k ^i àti

Or, en vertu de la relation

^N " y' M^ - ^_,/iy.2 (î 3) ^ ZïI^T;—-^ V D'^

conséquence immédiate de (5), on vérifie aussitôt que le coefficient de 11^ dans (12) est nul. Remplaçons ensuite dans (12) les M/^par leurs valeurs ( ï ï ) on trouvera sans peine que les coefficients de y'D sont égaux de part et d'autre, de sorte que les équations (12) s'écriront e/n définitive , , • ,

/ r v ^ ^ — J L / '1^ ^2 3 à^i àzk zk ^th—tifàzf^

( n ) àt] '~ ^ Z k ^ à t i ) ^~ Si àti ôti 2 ^ ( ^ ~ ^ ) ^ Sf, \ à t i ) , _i_^ dizj—âk^ . , ,^ • ,

' tk—ti àh 2 ^ ( ^ — ^ )2

1 1 1 . ' Zk ' ^! dizj—dnz] D / ï \ , .

, -4« ——————— j- ——-—————— -4'- — S, z/- \ z, -4- ———— ) ( /C^zr l ) :

^ 2^^-^) À ^(^-^) 2 ' ^ V ^ t k - t t ) v ' / î

ce sont bien les équations que nous avons dénuées au n° 2.

On aurait pu former aussi —J; et, en s'appuyant comme tout à

SOLUTION - DU PRÔBïAMB 'DE BÎEMÀNN. Ï Q O

l'heure sur (i3), oni parviendrait à l'équation, d'une symétrie remar- quable (1)

( f\ ^zk — I <jzk ^zk î ^zh ^zh 4- / àzj à^i

V 4 / àthàïi ~~ 2^ <^, â£i 2z^ àk à^ ïZi et/, à£/,

_______^k________ ^A-^' 2 ( ^ , — ^ ) ( 4 — ^ ) ^

___^___ ^i^/c __f^__

- ^_. !^ ^ ^. -.

2 T ^ — ^ ) ( ^ . - ^ ) "SI ' 2 (//,—^) (^—^) ^ ' a"7 1-7"''"

Le système Çg'^ G^) est complètement intégrable, comme (Aa) et (B) dont il procède (2) ; son intégrale dépend de ^n constanfces arbitraires : par exemple, les valeurs pour t\ == t°^ . . . . , . ^ = ^0

î à^ à:zn

ae^,, ..., ^^, ^' ' "3 ^,'

'1.1, ^intégration de ( A a ) ^^ moyen des solutions de (g'n, G^). — Les

3j, une fois déterminés par l'intégration de (g^, G^), il faut encore calculer les H/, et À pour achever l'intégration de ( A ^ ) . Or, on tire de(B)'3 1 ' !

, /M,^-z,a,\

dk— ————— ^

' vf \ ^ _ _ d î — H;

V •^,—————^———————4-—."-—=4£îA^ /..s/,. , À.5^

c'est-à-dire, en vertu de (6),

(,5) ' ! y ^ - ^ M g _ , V D ~ i ^ ^ ^ ^ ^ ^ • ' . .

-Àad S/: ,S( ^,-

Dans le cas général, où l'on a y^ =7^ î et où i'o'n peut prendre£==o, (8) fournira À moyennant une, .quadrature de différentielle totale:

(i 5) donnera alors H^ sans ambiguïté et les H^ en résulteront d'après (B);,.

Re^te le cas (3) \/D.== î , s ^o,. L'équation (i5) fait alors connaître^,

(r) Cette symétrie acquiert sa signification véritable dans ie rapprochement de (3) el(i4). ^ 1 ^ 1 . ' , . 1. 11 ! ! 1.1 1' ;1 1 1 ' ; ' 11 ! - ' 1 1^ ^ 1.

(2) On pourrait aussi le vérifier directement, en s'appuyant sur (i4)-

(3) Le cas ^/R == i» : s == o n'est/pas à. envisager; le, point1 ^ =?'w,ne/serait pas une singularité de ^.

^.Q5 RENÉ ^AKNIEîL

et pour déterminer H,, on. a l'équation

. ^"^s^ri^"'^-^

conséquence immédiate de (B),, (B), et (ï3); on en déduit aisément ïï^^z.h,, avec

âh, ^ àh,

(16) ^ —

^ àï,^^

et , ,

07) '¹¹ , ,^^^^^ .

Dans les deux cas/la détermination de ^ (ou de À,) introduira la (272 4- ï)1^ constante arbitraire qui doit figurer dans l'intégrale générale de (B) ou de (Aa).

12. Transformation de S en (E^). Introduction des Zj, à partir de (E^).

— Nous allons établir maintenant l'équivalence de (f^ Fy,) et(g^ G/,) : nous aurons ainsi rattaché l'un à l'autre les deux systèmes (/^ F,,) et (A^). Or pour m = 25 ê s'écrit

. .^^j.an+j^, -^=y,a^-^y^a^

les a^ désignant les fonctions rationnelles de x précédemment expli- citées; y , satisfait donc à l'équation (<) suivante (qui admet pour points apparemment singuliers les zéros de a^)

y;=:/au+a22+^^

Or, d'après les équations (2), le coefficient de y ' se réduit a ^^5

^{x) avant le même sens qu'au n° 8; posons alors

' . .1: , , • ' ___^ . 1 ! ! ! , • i , .

, , -¹, , ' : ¹^^:-¹ ' ;¹, ¹-¹ ^ , y^yv^C^);' ^ ^^{1 1 1 1}' '/ ¹ '^{1 1 1}^¹ • • :^{1 1}, ^{1 1 1}/ '¹^

(i) Dans ce numéro et les deux suivants, les accents indiquent des dérivées par rapport à .27.

SOLUTION DU PROBLÈME DE RÏEMÂNN. 197

y vérifiera l'équation

( 1 8 ) f-^ (a^-^a,, +a^2i -a^a,, + ^ ^ - |^) 7.

Pour qu'elle soit identique à (E^) il faudra d'abord qu'on prenne (19) ^.=4c/c4-x-

De plus, en vertu de (2), on a encore a^+a^= ^—T7 <p(^) ayant le même sens qu'au n° 8, et (18) pourra s'écrire

/ d/ 3 d/² ' V \

(x8Q y / = ^ ; , + a ? , 4 - ^ ^ - a ^ ^ + ^ - - ^ ^ y .

pour ^ = 0 0 , le coefficient de y dans (i8y présente comme terme prépondérant une expression en a?""2, de coefficient

/Î-+.2 /n+î \ 2 /2,-t-â

(-) - 2 A ^ ( 2 A t , ) -n^Af^l/^-^^;

Â-=l \ ^ = 1 / A=1

mais, d'après (B)2 et (7)5 on a

n+î —

X^ A /c —— V0 + ^ 4~ 1

. ^ A < , - — — — ^ — — — ,

A-=l

l'expression (20) est donc égale à ( D — i ) : 4; d'autre part, calculé dans le développement de (E^), autour de ^ = = = 0 0 ^ le même coefficient

' ! ! . , n + 3 ^ ! ! . ' ! ^ ^ 1 1 1 ! ' .

de ^~2 est égal à ^ cj, -h :'-1; on a donc

! A==I , • ! ! ! .^ ', , : ,1 - , •! , • .

' ' ;1 ! , - /t+3 • ' • •' . : (2l) D = = 4 ^ C / , - 4 ~ 3 / î 4 - ï . .

' , ! ,- • • , , ; •1 k^i : ! ' , 1! ' - 1' '1 , .1 1 1, ; 1, ,,

Ceci posé, observons qu'on peut écrire/d'après l'expression de û^

1' 1 ^ • 1 1 1 ! 1 1 1 1 ' ! 1 1 1 i- 1 a - a ^1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 • •1 1 ! '1 1 1 1 1

a^-a^) 1 , , . • .

a+S

avec a = y ^ A î i = ^ . ( n0 9, p. 192), et l'on aura en conséquence , , ^A=l 4'<^)

(2 2) : ^^W}' ,

iqg RENÉ fiA.RINIEH.

Ainsi, pour 7i == i, on a

t - A ï _ ' - A

• ^((T^T)' '^-r —T^T

les indices étant supprimés comme dans [VI]. On prendra nécessai- rement ï'== i, et lorsqu'on voudra appliquer à l'équation VI un résultat quelconque du Mémoire actuel, il faudra remplacer t, par l, s, par s,,

^. par s.,, -SA par ^ Çk^ i, n+ i) (2,, z,, z, étant donnés plus haut);

de plus les constantes a, b, ç, d de VI auront pour valeurs, d'après (19)

e t ( 2 i ) ,

^f^-1, 6=^1, c^^' a+b^c+d^^.

13. Équivalence de (/„, F») <-< ^ (^, G^) : calcul des fonctions symé- triques. - La démonstration d'équivalence que nous avons en vue va se réduire alors à un calcul de fonctions symétriques (1). On tire de (22)

. „, 1 as,, __Y, ___ ^/- _ ___

{•Î3) i^—2dA, - t / , à t , ti-h /•=:i

/ ,, i y-sk fi às,,^ v i <^v y ' ^Y+__-.

< ²⁴⁾ 7,~àîr~~[^~^.) ==LT^,'dtr'~^(^-^{àf,j ^-(/,.) ^î

Remplaçons(²)dans(24)les^par leurs valeurs tirées de (?„); le coefficient de f^Y sera égal à

\ ""'/ .

i ir^iM ^"^^t ^I

-(^r^)?-^ 2 [.?(?.,) 3 ^ ( ? . y ) j À , - ^

. ^(^(^—^^v^'_____'^M_____. .

" ^1- —2^07)—' ^AJ ' ^I/ ( ^À ') ( ^)l / — ^tl y'^i— ^ ⁽ - ^{Â/ - 7} -./' )

__^- , , , ,_ . ^

( 1 ) Pour plus de détails relativement aux calculs des n08 13 et li se reporter à une note des Comptes rendus du Congres des Sociétés savantes (Poitiers, 19^6).

( 2 ) Le déterminant des ^ dans ltis équations (%4) (où , est fixe) n'est pas nul : il

• v / ., âïf

est égal à ! ! ! , 1 1 , 1 ! ! ! 1 1 1 1" 1 1 1 , ! 1- ^ ' ra ( n + î ') ^ { i '\ ^ / / \ ' ' ! \ -i

^ — — — — ^ O t / ^ O ^ j r ^ ^ 3 ( M ) ^ ( Ï ^ — — W 2 ) . . . ( ^ 1 — — ^ ) ( ^ — — Î ^ ) . . . ( ^ - - 1 — — ^ / O j - 1 / ^ ( ^ l ) . - . ^ ( ^ ) \ / Y

H résulte de là, et de notre vérification, qu'inversement les équations (G/») entraînent (F,,).

SOLUTION DU PROBLÊME DE BÏEMANN. 199

Or, en écrivant que. la somme des résidus de la fonction rationnelle _______?(^)_______,

^(^) {x — fiY (x — tk) {^ — À / )

est nulle, on remplace aisément l'expression précédente par

^ / ^ I V î ( ^ ~ ^ ) ^ ( À y ) 2 ( ^ ~ - ^ ) W — ^ ^"-^ 2 ^ ( ^ — — ^ ) Cp à./) î

en sorte que dans le second membre de (^4)» l^s termes dû second degré par rapport aux dérivées premières ont pour somme

(

^ -- ' V ___ ^\ 4- / V—— ^-V V—— ^\

°

°- ï 2^^-tkàt.)

-\2.?.,-^3ï;M2<I7—^^;

,/=! / \ 7 ' = ï / \ 7 = 1 /

.

^(^-^)^(^)Y^Y.

2^(^~^)^ y ( ^ ) \ ^ ^ 7 '

;==1

^1

Mais, en écrivant que la somme des résidus de ,^ 1 y ( ^ ) ( ^ — ^ . ) u, '—- est nulle»

on trouve sans peine

(,5) • y.

^-L^+Ly , ^ .

1 / ^ À,- /, y^- ~ ^, ait • ^ ^ ///,— ^

7=1

de pliiSy les relations (23) entraînent l'identité en x

n,

i^\ ^ ( ^ ) ( ^ — ^ ) y I ^ ^ y ^ / — — th f'ÔZf, ZH

' 7 03^') ^ x — l . à k , ^ s c — t ï A à t , /;—.îp(^) J«J ^ —— Ày àki ^ 3C —— tf, \ àti ti——tk,

Or, on tire de (26)

^ / _ VO-/) V ^ ^/ àt,

^ ^a^ - ^ _ ? ^ ^ - - V

"'/ / ^ / ~ ~ ^ ( À / H À / — ^ ) ^

( ^ - ^ ^ - ^

(^ —— ^ ( À , ) ( À y - ^ ) ^ À ; - ^

La dernière somme qui figure dans (A) s'écrit alors

i -^ ^) r^^-^t-"T

' - ^ ^ ( À / X ^ — — ^ O L ^ ?•/——</, J ' /==*

200 RENÉ GARNÏEK.

en vertu des identités qui expriment que la somme des résidus de

\W^-t^-^^-t,) (^""is^A^)

est nulle, on trouve

y -vl'^^^Y^^^I ^^.

—Zi [-^r \àt-j ^ t^ J

ô^

et, grâce à (28) et (25), x prend alors la forme

— ifl.⁰^ ——-Y L.(L⁰!^ r \ /j5,- v " _ - / _ \

"'^""A^ ^ ⁺ ^^:::r^/'⁴' ^l^ ^ ~ⁱ~ ^"^J ^ ⁺^ tf^tj

_ •i ^, i ^ ' [ l — t k f à z j Y - ^ 1 j3,( ^ — ^) c?^- ^ s,( ^— ^,) ^ L ^/, Y ^/, / fi — t/,}

De même, d'après ce qui précède, les termes du second membre de (24) contenant les dérivées — au premier degré auront pour somme

^ = r?^) ^(^1 y ^

^ .

(

^v ^

| _ 2 9/( ^ ) ' 4 ; ( ^ , ) J ^ À ; — 4 ^ ^ • \ ^ àii ti—t,,) 2^ t^t,'

7=:i

Restent enfin les termes indépendants des dérivées; a l'aide de (19), (2ï) et des formules qui expriment que la somme des résidus de

<o (se )

—————_—————————- { ^ ^ ^ j^ quelconque)

^ ( œ ) ( x — i i Y { x — t ^ [ 3 c — t k ' ) A Y - ^ ^i ^ )

est nulle, ontroave aisément que leur somme est

0=== d,4-d^] ï - ^ ' c î ^ l ^ d u z ] ,

^-^ 2 ^ ( ^ - ^ )2 2 ^ ( ^ — ti) ^ ^,(^,~ if)

• ,

fy^ ^ ,

1 ,

.Y. ,

^

2 ( ^ ~ ^ ) L ^ ^ ( ^ - ^ ) • ^ ~ 4 j 2 ^ ^ ~l' ^ ~ - ^ ;>

II suffît maintenant de former la somme ^/Jr-^- — ^ ) 4- ^ + ifi) 4- © L\^ <7^'/ ; J pour retrouver, après quelques réductions immédiates, le second membre de (G^)-

Afin de retrouver les équations {gn) j'observerai que les équa-

SOLUTION DU PROBLÈME DE RIEMANN. . 201

tions {fn) s'écrivent (ⁱ) , en vertu de ( 2 7 ) 9

, 8 , ^t^-^-^ ^4g^-^-^ ^.

{2 ) z,^à \ j — t k .^-^ ^ j — t k ( ^ — ^ ) ( ^ — ^ ) /i=i

(./=:ï, .. ., n).

Mais les relations (28) entraînent l'identité en oc

-(^-^-.. ^^,-^-^ ^ ^^

z^Zu x — tf, zk2»à x—tu (x—ti){x—tk) ~ 9(^)7

/; = i

A étant un polynôme en se, a priori du premier degré; or, d'après (6), le premier membre de la relation précédente admet x = oo comme zéro d'ordre 2 ; A est donc indépendant de x et les résidus du premier membre pour x == ^ et x == ^ sont respectivement A^- et A-s//, ce qui entraîne aussitôt les équations (g^)-

14. Expression d'un coefficient de (E^) au moyen des z^ el ^^ T^"

— Pour la résolution du problème de Riemann nous aurons besoin de connaître l'expression explicite du coefficient a; de (E/^) au moyen des ^ et des <—^' On a a , = = ^ ( ^ — i)y^ y, étant le résidu en ^ du second membre de (En)'-) or en vertu de (ï8') on peut écrire

. A- ^

v

—"!

A——A^'[q7(^^2^ t^t,\

+ ^ i ( ^ ) ^ A ^ ^ 2 ( ^ ) 4 - A ; ^ 2 i ( ^ 0 — A ^ & n ( ^ ) - - A ^ ^ â ( ^ ) ,

en posant d'une façon générale

b -a ^A^ .

"^^^""^TT;

(1) Considérées comme linéaires en —A {t/i— t/^ les équalions (28) ont un déter- dt/i

minant non n u l f c / . note (2) p. 198]; donc, comme p l u s haut, la vérification entraînera l'équivalence de (fn) et {§'n\

• Âwi^ Éc. jNorm., (3), XLÏÏÏ. — JUILLET 1926. 20

202 ^! mm CxAtmiER.

Mais, en vertu d'une remarque utilisée pour la formation de (25) le crochet est égal à

_L ^\ ^

^^ ^•-^î

dès lors, en s'appuyant (B)a et (B).^ (n° 9) on trouve aisément

^ ^ i ^(H,3—H,^ i ^H^^H^,

/r 4 ^ j ,:^.(4-^) i Zï ,^-4)

' ^ y\ ^:. ' J ^/rf/s|4-^•^g,

, îz^ tk—ti 4 ^ ^,.3/.(^—4)î

c'est-à-dire, eu vertu de (B);; et (6),

(^ .^'^^(^^ .

fc . ^y^ ^ ^^^+^^ P^

'- ^{v /} ^ A 4^^ Y a ^ / û^ ôti 25^ ^-^ ^ 4^^(^-"4) 4

On peut retrouver cette formule on partant de l'expression donnée dans ma Thèse pour y^- (¹). Les transformations se dérouleront comme plus haut; le seul point qui puisse offrir quelque difficulté nouvelle consiste à établir que y^ reste holomorphe sur les multiplicités \j=\;

et pour cela, on appliquera à la fonction

/ Y ^ - ^ ) ^ ^ ) ^ ^ ) / w~ ^ K ^ - ^ . )

la remarque suivante : l'expression F(^ V) -+- F(^ \-), où l'on a

F^ .)~z^-i—i- jz^i

TL

^^^-^^(^pp-^^^ -.T^jf

considérée comme fonction de X/ reste holomorphe pour \j == ^.

(1) Loc. cit^ p. 8 2 . — îl faudra toutefois rectifier cette dernière formule et y

, * ï / ï ï \2 ., . . -, , . ,

remplacer qj par ç y — - .-+-.——) • L omission de ce dernier tenne dans la

4 \ À y A / — — î /

formule n'entra'înaît d'ailleurs aucune conséquence dans la suite du raisonnement,