! ! ! ! () ! v = ' v = . u ' 2 xc E = E .cos t − k x . e ! r x i ⎛⎝⎜⎞⎠⎟⎛⎝⎜⎞⎠⎟ i i i i i y k = = E = E .cos t − . e i i i i y c () ! i E ! i B = .cos t − k x . e i i i z ! c E xc ! ⎛⎝⎜⎞⎠⎟⎛⎝⎜⎞⎠⎟ i B = .cos t − . e i i z c

EXERCICE supplémentaire : DOPPLER électromagnétique unidirectionnel Réflexion et changement de référentiel

Une onde plane progressive monochromatique (de pulsation ω) polarisée rectilignement se réfléchit en incidence normale sur un métal parfait occupant à t = 0 le demi-espace x > 0. Ce métal parfait est en mouvement à la vitesse uniforme v = v.ux.

a- L'onde réfléchie est-elle nécessairement de même pulsation que l'onde incidente ?

b- Écrire la forme des champs électrique Ei(x, t) et magnétique Bi(x, t) incidents (dans le référentiel du laboratoire (supposé galiléen)

c- Afin d'appliquer les résultats usuels sur la réflexion d'une onde électromagnétique, il faudrait que la paroi soit immobile. On est donc amené à se placer dans le référentiel lié à la paroi, en translation rectiligne uniforme à la vitesse v par rapport au référentiel terrestre.

Exprimer la coordonnée x' repérée par rapport à la paroi en fonction de x, repérée par rapport à un point fixe terrestre.

En déduire l'expression des champs réfléchis E’r(x', t) et B’r(x', t) dans le référentiel lié à la paroi.

d- Trouver finalement l'expression du champ réfléchi Er(x, t) dans le référentiel du laboratoire. Interpréter la variation de son amplitude par rapport à celle de Ei(x, t).

e- Quelle est la pulsation du champ réfléchi Er(x, t) dans le référentiel du laboratoire? Trouver une application de ce changement de pulsation.

Comment mesurer la différence de pulsation sachant que v << c ?

CORRIGE :

a) Dans le référentiel de l’interface (en mouvement dans le référentiel d’étude à la vitesse ), la pulsation de l’onde réfléchie doit nécessairement être égale à cette de l’onde incidente pour pouvoir rester compatible avec les conditions aux limites (continuité de E tangentiel quelquesoit t par exemple). On écrira donc : . Par contre, rien ne justifie a priori que les pulsation soient identiques dans le référentiel du labo.

b) Ecrivons les champs incidents dans le référentiel R du laboratoire :

avec

c est la célérité de l’onde électromagnétique dans le référentiel R du laboratoire.

On pourra donc également écrire l’OPPH dans R :

v!=v.! u_x ωr'=ωi'

E!_i =E_i.cos

(

ωit−k_ix

)

^.e!y

B!_i = E_i

c .cos

(

ωit−k_ix

)

^{.e!z ki =ωci =2πλi}

E!_i =E_i.cos ωi t−x c

⎛⎝⎜ ⎞

⎛ ⎠⎟

⎝⎜

⎞

⎠⎟.! e_y B!_i = E_i

c .cos ωi t−x c

⎛⎝⎜ ⎞

⎛ ⎠⎟

⎝⎜

⎞

⎠⎟.! e_z

c) La composition des mouvements et donc des vitesses en mécanique classique (transformation de Galilée) donne : (v.t représentant l’abscisse de l’interface à l’instant t). L’hypothèse (qui vous parait

évidente) d’un écoulement du temps indépendant du référentiel permet de réécrire cette onde incidente dans le référentiel R’ de l’interface en utilisant la formule galiléenne de changement de référentiel pour un champ (E,B) :

(démontrable par l’invariance de la force de Lorentz lors d’un changement de référentiel galiléen)

On en déduit donc les expressions des composantes du champ dans le référentiel R’ de l’interface :

que l’on peut interpréter de la façon suivante :

• la pulsation de l’onde incidente observée dans le référentiel de l’interface est donc devenue :

•le nombre d’onde reste : ce qui signifie que la longueur d’onde n’est pas modifiée par changement de référentiel. En songeant qu’il s’agit d’une longueur (différence entre deux positions) cela paraît assez cohérent (la longueur d’un objet est un invariant par changement de référentiel en mécanique classique).

En utilisant l’équation de dispersion reliant k et , on vérifie dans le référentiel R’ que :

On applique alors les relations entre l’onde réfléchie et l’onde incidente dans le référentiel R’. L’opposition des champs électriques incident et réfléchi et l’égalité des champs magnétiques incident et réfléchi au niveau de l’interface (x’=0) permettent de proposer les ondes régressives réfléchies

x=x'+vt

E!_i'= ! E_i+!

v× ! B_i B!_i'= !

B_i

⎧

⎨⎪

⎩⎪

E!_i'=E_i.cos ωi t−x c

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟.! e_y+v.!

e_x×E_i

c .cos ωi t−x c

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟.! e_z

B!_i'= E_i

c .cos ωi t− x c

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟.! e_z

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

E!_i'=E_i. 1

−

v c

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

.cos

ω

i t

− (

x'+vt

)

c

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

.!

e_y=E_i. 1

−

v c

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

.cos

ω

i. 1

−

v c

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

.t

− ω

ⁱ c .x'

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

.! e_y

B!_i'= E_i

c .cos

ω

_i t

− (

x'+vt

)

c

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

.! e_z = E_i

c .cos

ω

_i. 1−v c

⎛ ⎝⎜ ⎞

⎠⎟

.t

− ω

ⁱ c .x'

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

.! e_z

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

⎪

ωi'=ωi. 1−v c

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

k_i'=k_i =ωi

c

ω

k_i'=ω'_i

v_ϕ' =ωi. 1−v c

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

c−v =ωi

c =k_i impliquant λ'_i=λ_i

E!_r'=−E_i. 1−v c

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟.cos ωi. 1−v c

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟.t+ωi

c .x'

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟.! e_y

B!_r'= E_i

c .cos ωi. 1−v c

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟.t+ωi

c .x'

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟.! e_z

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

d) Un dernier changement de référentiel de R’ vers R labo permet l’obtention de l’onde réfléchie dans le référentiel R :

donne

e) ainsi l’onde réfléchie dans le référentiel R a pour pulsation : soit, pour une vitesse d’éloignement v, une diminution relative de pulsation de :

Cet effet est appelé «effet DOPPLER» classique. Lorsque v<<c la variation relative de pulsation est donc infime. Pour mesurer l’écart de pulsation entre deux signaux électriques, on peut proposer d’en faire le produit (dans un multiplieur analogique) : on obtient alors la superposition d’un signal de pulsation somme

et d’un signal de pulsation différence très inférieure. Un filtrage passe-bas permet la récupération du signal de pulsation . Un convertisseur fréquence-tension donnera une tension proportionnelle à la vitesse d’éloignement v.

On cite souvent l’exemple du «Redshift» (décalage vers le rouge correspondant bien à une pulsation observée plus faible qu’attendue si la source était immobile) du rayonnement de galaxies s’éloignant à grande vitesse de la nôtre. Gardez à l’esprit que la démonstration précédente a été faite dans un contexte de mécanique classique et non relativiste (ce qui est inadapté a priori puisque la vitesse du signal est c). En réalité, une démonstration convenable passe donc par la transformation de Lorentz, une célérité des ondes c invariante par changement de référentiel, un écoulement du temps différent suivant le référentiel, la contraction des longueurs invalidant l’égalité des longueurs d’onde, etc.

E!_r = ! E_r'−!

v× ! B'_r B!_r = !

B'_r

⎧

⎨⎪

⎩⎪

E!_r =−E_i. 1−2v c

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟.cos ωi. 1−2v c

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟.t+ωi

c .x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟.! e_y

B!_r = E_i

c .cos ωi. 1−2v c

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟.t+ωi

c .x

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟.! e_z

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

ωr=ωi. 1−2v c

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

Δω ωi

≡ ωⁱ−ωr

ωi

= 2v c

≈2ωi

( ) (

^ωi−ωr

)

ωi−ωr

( )