D190 – Un lieu ...peu commun [***** à la main]
A partir de l'énoncé du problème D179, Dominique Roux pose le problème suivant : On donne deux points A et C. Pour tout point B, soit D sa projection orthogonale sur AC tandis que les points I , E, F sont les centres des cercles inscrits dans les triangles ABC , ABD , BCD;
Quel est le lieu des points B tels que le cercle (IEF) soit centré sur AC ? Solution partielle proposée par Jean Nicot
On traite seulement le cas où D est intérieur au côté AC.
On note O le centre du cercle circonscrit au triangle EIF,ω le milieu de EF, P l’intersection de la médiatrice de EF avec AC,Q l’intersection de AD avec EF et α l’angle EDω.
Lemme : les quatre points D,E,F,P sont cocycliques.
En effet, DE et DF étant les bissectrices des angles droits ADB et CDB, l’angle EDF est droit. Le point ω est donc le milieu de l’hypoténuse du triangle rectangle EDF et ωD = ωE.
On a les relations d’angles ωDP = π – π/4 –EDω = 3π/4 – α et comme DPωQ est inscriptible, ωPD = DQE = π – DEω – π/4 = 3π/4 – α. Le triangle ωDP est isocèle.
Donc ωD = ωP. Cqfd
Par ailleurs EIF = π – CAI –ACI = π /2 + ABC/2 et EOF = 2(π – EIF) = π –
ABC. Quand O est sur AC, O est en P et EOF = π/2. D’où ABC = π/2 Le lieu de B est donc le cercle de diamètre AC.
