D191-Un lieu peu commun (2ème épisode) Problème proposé par Dominique Roux
On donne deux points A et C. Pour tout point B soit D sa projection orthogonale sur AC. On note I et E les centres des cercles inscrits dans les triangles ABC et ABD et F' le centre du cercle exinscrit dans l'angle B du triangle BCD. On supposera que D n'est pas entre A et C.
1) Montrer l'équivalence des 3 propriétés:
a) Le cercle ( IEF' ) est centré sur AC.
b) EF' est perpendiculaire à AC.
c) Le milieu de EF' est sur AC.
2) Montrer qu'alors le lieu de B est inclus dans la courbe d'équation x2(y + 2) = 2(y + 1)2 rapportée au repère orthonormé pour lequel les coordonnées de A sont (-1,0) et celles de C sont (1,0) et montrer que la différence des pentes des droites AI et CI est constante.
Q1) Soient T et T' les projections de E et F' sur la droite AC.
La condition b) EF' perpendiculaire à AC implique T et T' confondus, les cercles (E) et (F') ont même rayon, E et F' sont symétriques par rapport à la droite AC, le milieu de EF' est sur AC, et tout cercle passant par E et F', et en particulier le cercle (IEF'), est centré sur la droite AC.
Donc b) implique a) et c).
La condition c) : le milieu de EF' est sur AC implique que dans le triangle EDF', la droite AC est à la fois médiane et bissectrice, donc le triangle est isocèle, et AC est aussi hauteur, donc EF' est perpendiculaire à AC. Donc c) implique b) qui implique a).
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Comment exploiter la condition a) ?
Dès maintenant on suppose que les coordonnées de A sont (-1,0) et celles de C sont (1,0).
Dans le triangle ABC, les bissectrices des angles en A et C ayant pour pentes p et q, leurs équations sont y = p(x+1) , et y =q(x-1) . Soient (u,v) les coordonnées de B., les bissectrices de ADB ont pour équations y = + (x-u).
Les droites BA et BC d'équations v = (2p)
(1−p2) (u+1) et v = (2q)
(1−q2) (u-1) se coupent en B d'abscisse u = (p²q+pq²-p-q)/(p²-pq²+p-q)
Coordonnées de I:[(q+p)/(q-p), 2pq/(q-p)], Coordonnées de E : [(u-p)/(p+1), p(u+1)/(p+1)]
Coordonnées de F' : [(q-u)/(q-1), q(1-u)/(q-1)]
Le cercle IEF' est centré sur AC ↔ │xI²+yI² xI 1│
│xE²+yE² xE 1│= 0 │xF'²+yF'² xF' 1│
│(q+p)²+4p²q² q² – p² (q–p)² │
│(u – p)²+p²(u+1)² (u–p)(p+1) (p+1)² │= 0
│(q-u)²+q²(1-u)² (q-u)(q-1) (q-1)² │
En développant ce déterminant, en remplaçant u par (p²q+pq²-p-q)/(p²-pq²+p-q), on trouve : -8p3q3(q-1)(q²-1)(p+1)(p²-1). [q(p+1)–p+1].(q+2 – p) / [(p–q)(pq+1)] = 0
On doit supposer p≠0, q≠0, p≠ +1, q ≠ +1, on ne retient que [q(p+1)–p+1](q+2–p) = 0, de plus l'hypothèse q(p+1)-p+1 = 0 implique que BA et BC sont perpendiculaires, que B est sur le cercle de diamètre AC, or c'est exclus car on a supposé D à droite de C. Il ne reste plus que p = 2 + q
La condition a) : Le cercle ( IEF' ) est centré sur AC équivaut à : pente de AI = 2 + pente de CI.
Dans u = (p²q+pq²-p-q)/(p²-pq²+p-q) , remplacer p par q+2 donne u = (q²+2q–1)/(q+1).
Comparons alors les abscisses de E et F' :
(u-p)/(p+1) = -1/(q+1) et (q-u)/(q-1) = -1/(q+1).
La condition a) implique les abscisses de E et F' sont égales, soit EF' perpendiculaire à AC : Donc a) implique b) qui implique c). Les 3 propriétés a), b, c) sont équivalentes.
Q2) Lieu de B : Avec u = (q²+2q–1)/(q+1) et v = (2q)
(1−q2) .(u-1) = (−2q)(q+2)
(q+1)2 , on dispose d'une représentation paramétrique.
Comparons u²(v+2) = (2(q2+2q−1)2)
(q+1)4 et 2(v+1)² = (2(q2+2q−1)2)
(q+1)4 ils sont égaux : Le lieu de B est inclus dans la courbe d'équation x2(y + 2) = 2(y + 1)2 rapportée au repère orthonormé pour lequel les coordonnées de A sont (-1,0) et celles de C sont (1,0).
Le lieu de B comprend les deux arcs de cette courbe situés dans le demi-plan y > 0 et leurs symétriques par rapport à la droite AC.