Pour tout A∈ F,Ac∈ F — Pour tout (An)∈ FN

Problème : Marches aléatoires sur Z^d

Première Partie : Probabilité et tribu sur un ensemble SoitΩ un ensemble.

On appelle tribu sur Ω, toute partie F deP(Ω), vérifiant

— Ω∈ F.

— Pour tout A∈ F,A^c∈ F

— Pour tout (An)∈ F^N, [

n∈N

An∈ F.

1. Donner deux exemples simples de tribu.

2. Monter que si (An)∈ F^N alors \

n∈N

An∈ F.

On appelle probabilitéP sur une tribuF de Ωtoute applicationP :F →[0,1]vérifiant

— P(Ω) = 1.

— Pour toute famille (An) ∈ F^N formée d’évènements deux à deux incompatibles alors la suite

n

X

k=0

P(A_k)

!

n∈N

converge et sa limite, notée

+∞

X

k=0

P(A_k)

!

, vérifie

+∞

X

k=0

P(A_k) = P [

k∈N

A_k

! .

Dans la suite, (Ω,F,P)désigne un espace probabilisé, c’est-à-dire un ensembleΩ quelconque,F une tribu sur ΩetP une probabilité surF.

Vous prendrez garde que nous sommes entrain d’élargir la notion de probabilité vue en classe qui se cantonnait au cas où Ω était fini. Ainsi, toute propriété sur P est à redémontrer dans ce problème.

C’est l’objectif de cette première partie.

3. Propriétés d’une probabilité.

(a) Montrer queP(∅) = 0.

(b) Montrer que, pour tous A, B∈ F incompatibles, P(A∪B) = P(A) + P(B).

(c) Monter que, pour toutA∈ F,P(A^c) = 1−P(A).

(d) Montrer que, pour tous A, B∈ F, siA⊂B alorsP(A)6P(B).

(e) Montrer que, pour tous A, B∈ F,P(A\B) = P(A)−P(A∩B).

(f) Formule de Poincaré.

Montrer que, pour tous A, B∈ F,P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B).

4. Inégalité de Boole

Montrer que, pour tout n∈N, pour tous A₀,· · · , A_n∈ F, P

n

[

k=0

A_k

! 6

n

X

k=0

P(A_k).

5. Théorèmes de la limite monotone.

(a) Soit(A_n)∈ F^N une famille croissante (pour l’inclusion) d’évènements deF.

Montrer que

n→+∞lim P(An) = P [

k∈N

Ak

! .

1

(b) Soit(An)∈ F^N une famille décroissante (pour l’inclusion) d’évènements deF. Montrer que

n→+∞lim P(A_n) = P \

k∈N

A_k

! . 6. Théorème de Borel-Cantelli.

Soit(An)∈ F^N une famille d’évènements deF. On notelim sup

n→+∞

A_n= \

n∈N

[

k>n

A_k etlim inf

n→+∞A_n= [

n∈N

\

k>n

A_k. (a) Montrer quelim sup

n→+∞

A_n∈ F et quelim inf

n→+∞A_n∈ F. (b) Montrer que ω ∈ lim sup

n→+∞

A_n si, et seulement si, il existe une infinité d’entiers n ∈ N tels queω ∈A_n.

(c) Montrer queω ∈lim inf

n→+∞A_n si, et seulement si, à partir d’un certain rang, ω∈A_n. (d) On suppose que la suite

n

X

k=0

P(Ak)

!

n∈N

converge.

Montrer queP

lim sup

n→+∞

A_n

= 0.

(e) On suppose que les évènements (A_n) sont mutuellement indépendants et que la suite

n

X

k=0

P(Ak)

!

n∈N

tend vers +∞.

Montrer queP

lim sup

n→+∞

A_n

= 1.

Seconde partie : Jaco, le patrouilleur galactique.

Jaco, le patrouilleur galactique, part en mission secrète depuis son quartier général.

Il se déplace dans un espace à trois dimensions que l’on munit d’un repère (O,−→ i ,−→

j ,−→

k), l’origine O désignant le quartier général de la patrouille galactique.

Plus précisément, Jaco se balade le long du grillage infini dont les points d’intersection sont exactement les points à coordonnées entières de l’espace.

Pour tout n∈N, il occupe à l’instantn un certain pointM_n définie de la manière suivante :

— M₀ est à l’origine du repère choisi.

— M_n+1 est l’un quelconque des huit points, choisi avec équiprobabilité, qu’on peut construire de Mn en ajoutant+1 ou−1 à chacune de ses coordonnées.

Pour tout n∈N, on note Rn l’évènement « Jaco est de retour en O à l’instant2n».

1. Montrer que, pour tout n∈N,P(Rn) = (²ⁿ_n)

2²ⁿ

3

. 2. On pose, pour tout n∈N,un=

√2n+1 2²ⁿ

2n n

. (a) Montrer que la suite (un)est monotone.

(b) En déduire que, pour tout n∈N^?,P(Rn)6 _2n^√1_2n. 3. (a) Montrer que, pour tout k>2, ¹

2k√

2k 6Rk k−1 dt

2t√ 2t. (b) En déduire que la suite

_n P

k=0

P(R_k)

n∈N

converge.

2

4. En utilisant le théorème de Borel-Cantelli et en considérant le complémentaire, qu’en conclure sur Jaco ?

Troisième partie : MB, le mec bourré.

MB, le mec bourré, part d’une soirée bien arrosée depuis le 6 Rue Giraud Teulon.

Il se déplace dans un espace à deux dimensions que l’on munit d’un repère (O,−→ i ,−→

j), l’origine O désignant le 6 Rue Giraud Teulon.

Plus précisément, MB se balade le long du grillage infini dont les points d’intersection sont exactement les points à coordonnées entières du plan.

Pour tout n∈N, il occupe à l’instantn un certain pointMn définie de la manière suivante :

— M₀ est à l’origine du repère choisi.

— M_n+1 est l’un quelconque des quatre points, choisi avec équiprobabilité, qu’on peut construire de Mn en ajoutant +1ou −1à chacune de ses coordonnées.

Pour n∈N^?, on note X_n la variable aléatoire égale au mouvement effectué par M B lors du passage de l’étape n−1 à l’étapen.

1. Donner la loi deXn et justifier que la suite(Xn)est formée de variables aléatoires mutuellement indépendantes.

On pose S0= 0 et, pourn∈N^?,Sn=X1+· · ·+Xn. On note également A= lim sup

n→+∞

{S_n= 0}.

2. Donner la valeur de P(S_n= 0).

3. A l’aide de la formule de Stirling, montrer qu’il existe C >0tel que, pour toutn∈N, P(S_2n= 0)> C

n. 4. En déduire que la suite

_n P

k=0

P(S_k= 0)

n∈N

tend vers+∞.

5. On noteB =A^c. (a) Montrer que

P(B) =

+∞

X

n=0

P({S_n= 0} ∩ ∀i >0, Xn+1+· · ·+Xn+i 6= 0).

(b) En déduire que P(B) = 0.

6. Qu’en conclure sur MB ?

Quatrième partie : Une petite utilisation de Python

On peut montrer (mais c’est difficile car il faut utiliser des résultats très pointus sur les chaînes de Markov) que la probabilité de retour de Jaco à son QG vaut p= 1−¹_u avec

u= 3 (2π)³

Z

]−π,π[³

dxdydz

3−cos(x)−cos(y)−cos(z).

A l’aide de Python, donner une valeur approchée de p.

* * * FIN DU SUJET * * *

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