a) Montrer que pour tout p≥0et tout f ∈L∞,k |f|pk∞=kfkp∞

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3

UE LM365 – Intégration 2 Année 2011–12

Examen final du 25 juin 2012 (2ème session)

Durée : 2 heures. Tous documents interdits. Dans l’exercice 2, on désignera parλ la mesure de Lebesgue et l’on abrégera dλ(x) endx.

Exercice 1. Soit(E,A, µ)un espace mesuré et pour toutp∈[1,+∞], soitL^p :=L^p(E,A, µ).

a) Montrer que pour tout p≥0et tout f ∈L^∞,k |f|^pk_∞=kfk^p_∞.

b) Montrer que pour toutp≥1et toutf ∈L¹∩L^∞,k |f|^pk₁ ≤ kfk^p−1_∞ kfk₁, et en déduire que f ∈L^p.

On se donne à présent f, f₀, f₁, . . . des éléments de L¹∩L^∞, et l’on suppose que la suite (f_n) converge vers f dans L¹ et dans L^∞.

c) Montrer que la suite (f_n) converge versf µ-p.p. ainsi que dans L^p pour tout p≥1.

d) Dans cette question, on cherche à montrer que pour tout entier p ≥ 1, la suite (f_n^p) converge vers f^p dans L¹.

i) Soitp≥1un entier. On rappelle que pour tousx, y ∈R,x^p−y^p = (x−y)Pp−1

k=0x^ky^p−1−k. En déduire que

kf_n^p−f^pk₁ ≤ kf_n−fk∞ kf^p−1k₁+

p−1

X

k=1

kf_nk^k_k kfk^p−1−k_∞

! .

ii) Rappeler pourquoi dans tout espace vectoriel normé, si la suite (x_n) converge vers x, alors la suite (kx_nk) converge vers kxk.

iii) Conclure.

e) Dans cette question, on cherche à montrer que pour tout p ≥ 1, la suite (f_n^p) converge vers f^p dans L^∞.

i) Montrer qu’il existe un ensemble Ω de complémentaire négligeable tel que la suite (fn) converge uniformément vers f sur Ωet tel que sup_x∈Ω|f(x)|<∞.

ii) Montrer qu’il existe un sous-ensemble borné K de R et un entier N tels que pour tous x∈Ω etn ≥N, f(x)∈K et f_n(x)∈K.

iii) Expliquer pourquoi l’application x7→x^p est lipschitzienne surK et conclure.

f) Soit Q un polynôme. Montrer que si (fn) converge vers f dans L¹ et dans L^∞, alors la suite (Q(f_n)) converge vers Q(f) dans L^p pour toutp∈[1,+∞].

Exercice 2. Soient α et β deux éléments de R^?+. Pour toute fonction h : R+ → R non nulle au voisinage de +∞, on note f(x)∼h(x) lorsque x→+∞, silimx→+∞f(x)/h(x) = 1.

a) Soitg ∈L¹(R+,B(R+), λ). Par un changement de variable, montrer que, quandx→+∞, G(x) :=

Z ∞

0

du e^−αue^−βu2/2g(xu) ∼ R∞

0 du g(u) x 1

b) En appliquant la question précédente, après un changement de variable, à une fonctiong bien choisie, montrer que, lorsque x→+∞,

G1(x) := e^αxe^βx2/2 Z ∞

x

du e^−αue^−βu2/2 ∼ 1 βx

c) Soitf :R+→R+ une fonction lipschitzienne telle quelimx→+∞xf(x) = +∞. On cherche à montrer que, lorsque x→+∞,

G₂(x) := e^αxe^βx2/2 Z ∞

x

du e^−αue^−βu2/2f(u)∼ f(x) βx

i) En faisant le changement de variabley =x(u−x)et en écrivant ^f(x)_βx sous la forme x⁻¹R∞

0 dy e^−βyf(x), montrer que

G2(x)− f(x) βx

f(x) x

≤H1(x) +H2(x),

où

H₁(x) = 1

|f(x)|

Z ∞

0

dy e^−βy f

x+y x

−f(x) , et

H₂(x) = Z ∞

0

dy

1−e^−αy/xe^{−βy2/(2x2)} e^−βy. ii) Conclure.