2 (e −2x − f n 2 (x)) 1. a. Montrer que, pour tout x positif ou nul

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Pour tout x ∈ [0, +∞[ , on considère

les suites (f n (x)) _n∈N dénies par : f 0 (x) = 0 et ∀n ∈ N : f n+1 (x) = f n (x) + 1

2 (e ^−2x − f _n ² (x)) 1. a. Montrer que, pour tout x positif ou nul

e ^−x − f n+1 (x) = (e ^−x − f n (x))ϕ n (x) avec ϕ n (x) = 1 − 1

2 e ^−x − 1 2 f n (x) b. Montrer que 0 ≤ f n (x) ≤ e ^−x pour tout x positif ou nul et tout entier n . Montrer

que la suite (f n (x)) _n∈N est convergente et préciser sa limite.

2. On pose u n = 1 − f n (0) pour tout entier n . Montrer que u n = 2 ¹⁻²

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d'après E3A PC 2000

Corrigé

1. a. On peut mettre e ^−x − f _n (x) en facteur : e ^−x − f _n+1 (x) = e ^−x − f _n (x)

1 − 1

2 (e ^−x + f _n (x))

| {z }

=ϕ

(x)

b. Montrons par récurrence la propriété P n :

P n : ∀x ≥ 0, 0 ≤ f n (x) ≤ e ^−x Initialisation : ∀x ≥ 0, f 0 (x) = 0 ≤ e ^−x .

On se propose de montrer que P n entraîne P n+1 . Remarquons d'abord que f n (x) ≤ e ^−x ⇒ ϕ n (x) = 1 − 1

2 e ^−x − 1

2 f n (x) ≥ 1 − e ^−x ≥ 0 On en déduit P _n car

f _n+1 (x) − f _n (x) =

e ^−x + f _n (x) 2

e ^−x − f _n (x)

≥ 0 et

e ^−x − f _n+1 (x) = e ^−x − f _n (x)

ϕ _n (x) ≥ 0

Le raisonnement précédent a montré que, pour tout x ≥ 0 , la suite (f n (x)) _n∈

N

est croissante et majorée par e ^−x . Elle est donc convergente. Notons l(x) sa limite.

Par passage à la limite dans une inégalité, on sait déjà que l(x) ≥ 0 .

La relation de récurrence ne comporte que des opérations usuelles et des suites convergentes. En passant à la limite, il vient

l(x) = l(x) + 1

2 e ^−2x − l(x) ²

⇒ (e ^−x + l(x))(e ^−x − l(x)) = 0 ⇒ l(x) = e ^−x car e ^−x + l(x) > 0 .

2. Dénissons des suites (u _n ) _n∈

et (v _n ) _n∈

:

∀n ∈ N , u n = 1 − f n (0), v n = 2 ¹⁻²

Formons les relations de récurrence vériée par ces suites.

f _n+1 (0) = f _n (0) + (1 − f _n (0))(1 + f _n (0))

2 ⇒ 1 − u _n+1 = 1 − u _n + u _n (2 − u _n ) 2

⇒ u _n+1 = 1 2 u ² _n

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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MPSI B 29 juin 2019

D'autre part v 0 = 1 car 2 ⁰ = 1 par convention et

v n+1 = 2 ¹⁻²

= 2 ^1−2×2

= 2 ^2×(1−2

⁾⁻¹ = v _n ² 1 2

Les deux suites vérient les mêmes relations de récurrence et conditions initiales, elles sont donc égales.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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