Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3
UE LM365 – Intégration 2 Année 2011–12
Examen final du 4 juin 2012 (1ère session)
Durée : 2 heures.Tous documents interdits. On désignera invariablement parλ la mesure de Lebesgue et l’on abrégera parfois, comme il est d’usage,dλ(x) endx.
Exercice 1. Dans cet exercice, on notek · kp la norme associée à l’espaceLp :=LpC(R,B(R), λ).
Pourf ∈L1, on désigne parfˆla transformée de Fourier def, c’est-à-direfˆ(u) = R
Rf(x)e−iuxdx, et l’on rappelle que sifˆ∈L1 alors pourλ-presque tout x,
f(x) = (2π)−1 Z
R
f(u)ˆ eiuxdu.
Soient g, h∈L1 telles quegˆ∈L1 et khˆk∞<1. On cherche à résoudre dans L1 l’équation
f =g+h ? f, (1)
où? désigne le produit de convolution usuel.
a) Montrer que la fonction F := ˆg/(1−h)ˆ est bien définie λ-p.p. et que F ∈ L1, grâce à la majoration kFk1 ≤ kgˆk1/(1− kˆhk∞).
b) i) Montrer que si f est solution de (1), alors f =f1 λ-p.p., où f1(x) := (2π)−1
Z
R
ˆ g(u)
1−ˆh(u)eiuxdu, x∈R. ii) Montrer avec rigueur et précaution quef1 est bien solution de (1).
Exercice 2. Soit E un espace métrique localement compact et séparable, et µ une mesure de Borel sur(E,B(E)). Soit(fn)nune suite de fonctions boréliennes convergeant localement dans Lp (1 ≤ p < ∞) vers f, au sens où pour tout compact K de E, limn→∞
R
K|fn−f|pdµ = 0.
On cherche à montrer, par le procédé d’extraction diagonale de Cantor, que (fn)n admet une sous-suite qui convergeµ-p.p. vers f.
Soit (En)n une partition dénombrable de E telle que pour tout n ∈ N, En est inclus dans un compact deE.
a) Montrer qu’il existe un borélien A0 ⊆ E0 tel que µ(E0 \A0) = 0, et une sous-suite de (fn)n, que l’on notera (fn(0))n, qui converge vers f partout sur A0.
b) Montrer que pour k parcourant N, on peut trouver des sous-suites(fn(k))n de(fn)n et des boréliens Ak ⊆ Ek tels que µ(Ek\Ak) = 0 et (fn(k+1))n est une sous-suite de (fn(k))n qui converge vers f partout surAk.
On définit à présent gn :=fn(n) et A:=∪∞k=0Ak.
c) Montrer que pour tout k ∈N, (gn)n≥k est une sous-suite de (fn(k))n. d) Montrer que (gn)n converge vers f partout surA.
1
e) Montrer que µ(E\A) = 0 et conclure.
f) Les deux sous-questions suivantes sont indépendantes l’une de l’autre.
i) Comment peut-on définir la convergence locale dans L∞? Que se passe-t-il si (fn)n converge localement dans L∞ vers f?
ii) Exhiber une suite(fn)n qui converge vers une fonction f localement dans Lp (pour tout p∈[1,+∞]), mais dont aucune sous-suite ne converge vers f dans Lp.
Exercice 3. Soient p ∈ [1,+∞[ et f, f0, f1, f2, . . . des éléments de Lp := Lp
R(R+,B(R+), λ) toutes localement intégrables, telles que(fn)n converge vers f dans Lp. On fixe une constante c∈R et l’on définit pour x∈R+
F(x) := c+ Z x
0
f(t)dt et Fn(x) :=c+ Z x
0
fn(t)dt, n∈N.
a) Soit M ≥0.
i) Montrer l’inégalité suivante Z M
0
|Fn(x)−F(x)|pdx≤Mp+1 Z M
0
|fn(t)−f(t)| dt M
p
ii) En déduire l’inégalité suivante Z M
0
|Fn(x)−F(x)|pdx≤Mpkfn−fkpp
iii) Utiliser le résultat de l’exercice précédent pour justifier soigneusement que la suite (Fn)admet une sous-suite qui converge λ-p.p. vers F.
b) Montrer que si la suite (kFnkp)n est bornée, alors F ∈Lp.
