EXERCICE 1 Pour tout entier n > 2, on considère la fonction f

Ts AP 2 _2012-2013

Accompagnement personnalisé 1 : Exercice 94 p 78

A p p r o f o n d i s s e m e n t

EXERCICE 1 Pour tout entier n > 2, on considère la fonction f

définie sur [0; 1] par f

(x) = x

− 2nx + 1.

1. Démontrer que pour tout entier n > 2, l’équation f

(x) = 0 admet une solution unique α

dans [0; 1].

2. A l’aide de la calculatrice ou d’un ordinateur, donner une valeur approchée à 0,001 près de α

et de α

. 3. Comparer α

et 1

n .

4. Montrer que la suite (α

) est convergente et préciser sa limite.

EXERCICE 2 On considère une fonction f définie sur R par f (x) = x + √ x

+ 1.

1. Déterminer les limites de f en + ∞ et en −∞ . 2. Calculer f

(x).

3. Démontrer que, pour tout x ∈ R , f

(x) > 0.

4. Dresser le tableau de variations de f .

5. A l’aide de la calculatrice ou d’un ordinateur, tracer la courbe de f et la droite d’équation y = 2x dans un repère orthogonal. Qu’observe-t-on en + ∞ ? Le démontrer.

C o n s o l i d a t i o n

EXERCICE 1 On considère la fonction f définie sur R par :

f (x) = 2x

− 6x

+ 5.96x − 1.96

1. A l’aide de la calculatrice ou d’un ordinateur, conjecturer le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0. Donner une valeur approchée de ces solutions.

2. Étudier les variations de f sur R. La conjecture précédente se confirme-t-elle ?

3. Déterminer trois réels a, b et c tels que pour tout x de R, f (x) = (x − 1)(ax

+ bx + c). Résoudre l’équation f (x) = 0.

EXERCICE 2 Déterminer l’ensemble de dérivabilité de la fonction f et calculer f

(x).

1. f (x) = √

x

− x + 3 2. f (x) = √ 2 + cos x 3. f (x) = (1 + 2 √ x)

4. f (x) = (sin x + cos x)

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