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Pour tout x ∈]0; +∞[, on pose F (x) =

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Academic year: 2022

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(1)

P

2

: doc 11 Problème : Intégration et série 2015-2016

Pour tout x ∈]0; +∞[, on pose F (x) =

Z x

1

ln(t)

1 + t 2 dt et k ∈ N , I k (x) = Z x

1

t k ln(t) dt

1. Justifier que F est définie et dérivable sur ]0; +∞[ et donner F

′

. En déduire le tableau de variations de F sur ]0; +∞[. Préciser également le signe de F .

2. (a) Pour tout x ∈]0; +∞[, calculer I 0 (x) = Z x

1

ln(t) dt.

(b) Justifier que, pour tout x ∈]0; 1], F (x) 6 I 0 (x).

(c) En déduire que F est majorée par 1 sur ]0; 1].

(d) Justifier que F a une limite finie en 0 que l’on notera L dans la suite. Vérifier également que 0 6 L 6 1.

3. (a) Montrer que

∀x ∈]0; +∞[, F 1

x

= F(x) indication : on pourra introduire la fonction g : x 7−→ F

1 x

− F (x) et l’étudier.

(b) En déduire que F (x) −→

x→+∞ L.

(c) Donner l’allure de la courbe de F .

4. L’objet de cette question est de déterminer une valeur approchée de L.

(a) Pour tout x ∈]0; +∞[ et pour tout k ∈ N , calculer I k (x). En déduire ensuite que

∀k ∈ N , lim

x→0 I k (x) = 1 (k + 1) 2 (b) Soit n ∈ N , montrer que

∀t ∈ R , 1 1 + t 2 =

n

X

k=0

(−1) k t 2k + (−1) n+1 t 2n+2 1 + t 2 (c) En déduire que,

∀x ∈]0; +∞[, F(x) =

n

X

k=0

(−1) k I 2k (x) + (−1) n+1 Z x

1

t 2n+2 ln(t) 1 + t 2 dt puis que

∀x ∈]0; 1],

F (x) −

n

X

k =0

(−1) 2k I 2k (x)

6 I 2n+2 (x) (d) En déduire que

∀n ∈ N ,

L −

n

X

k=0

(−1) k (2k + 1) 2

6 1 (2n + 3) 2 5. (a) Pour quelles valeurs de n peut-on affirmer que

n

X

k=0

(−1) k

(2k + 1) 2 est une valeur approchée de L à 10

−4

près ? (b) Écrire (en langage Python) une fonction VAL_APP ayant pour paramètre d’entrée eps qui retourne une valeur

de L à eps près.

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