Pour tout x > 0 on pose

(1)

Ch. Menini - 2015/2016 N1MA5012 - Int´ egration

Sujets d’expos´ es Sujet 1

En admettant le th´ eor` eme de convergence domin´ ee, d´ emontrer le th´ eor` eme de d´ erivation des int´ egrales ` a param` etre. Appliquer ce th´ eor` eme ` a la r´ esolution de l’exercice :

Pour tout x > 0 on pose

F (x) = Z +∞

0

dt t ² + x

montrer que F est d´ erivable sur ]0, +∞[ et en d´ eduire que R +∞

0 dt

(t

²

+x)

²

= ¹ ₂ ^π ₂ _x

3/2

¹ . Donner les grandes lignes de la d´ emonstration que pour tout entier n

Z +∞

0

dt

(t ² + x) ⁿ⁺¹ = 1 × 3 × · · · × (2n − 1) 2 × 4 × · · · × 2n

π 2

1 x ^n+1/2 Sujet 2

En admettant le lemme de Fatou, donner une d´ emonstration du th´ eor` eme de convergence domin´ ee. Appliquer ce th´ eor` eme ` a la r´ esolution de l’exercice :

On suppose que la s´ erie trigonom´ etrique a ₀ /2 + P ∞

n=1 [a _n cos(nx) + b _n sin(nx)] (a _n , b _n ∈ R ) converge simplement sur un intervalle [a, b] (a < b). On veut montrer que cela implique que a _n et b n tendent vers 0. Autrement dit, ´ ecrivant a n cos(nx) + b n sin(nx) = r n cos(nx + ϕ n ) avec r n = p

a ² _n + b ² _n , on veut montrer que r n tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.

1. Que pouvez-vous dire de la suite (r n cos(nx + ϕ n )) ?

2. Montrer que si [a, b] = [−π, π] et que la convergence est uniforme, alors les coefficients a _n et b _n tendent vers 0 lorsque n tend vers l’infini.

3. On revient au cas g´ en´ eral et on suppose que (r n ) ne tend pas vers 0. Justifier qu’il existe alors un η > 0 et une sous-suite (r _n

_k

) telle que pour k, r _n

_k

> η.

4. En utilisant le th´ eor` eme de convergence domin´ ee, prouver que lim

k→∞

R b

a cos ² (n _k x+ϕ _n

_k

) dx = 0.

5. Expliciter cette derni` ere int´ egrale et conclure.

Sujet 3

Donner des exemples d’application du th´ eor` eme de Fubini et des contre-exemples lorsque toutes les hypoth` eses ne sont pas satisfaites.

A quel th´ eor` eme correspondent le th´ eor` eme de Tonelli lorsque l’un des deux espaces est ( N , P ( N ), µ _d ) o` u µ _d est la mesure de d´ enombrement ?

A quel th´ eor` eme correspond le th´ eor` eme de Fubini lorsque les deux espaces sont ( N , P ( N ), µ _d ) ? En utilisant le th´ eor` eme de Fubini ou de Tonelli, et en faisant bien le lien entre l’´ enonc´ e du th´ eor` eme utilis´ e, calculer

1. R 8 0

R 2 y

¹³

√

x ⁴ + 1 dx

dy

2. le volume du cˆ one de hauteur h et rayon r.

Sujet 4

Enoncer le th´ ´ eor` eme de changement de variables puis l’appliquer en ayant soin de bien v´ erifier les hypoth` eses ` a la r´ esolution de l’exercice :

Soit B _n la boule unit´ e euclidienne ouverte, c’est-` a-dire B _n = {x ∈ R ⁿ : kxk < 1}. On note λ _n la mesure de Lebesgue sur R ⁿ et v _n = λ _n (B _n ). Montrer que pour tout entier n ≥ 3

v _n = v n−2

Z

B

2

1 − kxk ²

ⁿ⁻²₂

dλ ₂ (x)

(2)

puis retrouver ainsi la formule donnant v _n en fonction de n.

Faites le lien entre le th´ eor` eme de changement de variables et l’aire d’un parall´ elogramme dans le plan ; le volume d’un parall´ el´ epip` ede dans l’espace.

Sujet 5

Donner une d´ emonstration du th´ eor` eme de H¨ older.

Que devient ce th´ eor` eme lorsque Ω = N et µ = µ d la mesure de d´ enombrement ? Dans la suite on prend 1 ≤ p < ∞ et q tel que ¹ _p + ¹ _q = 1.

On consid` ere a ∈ ` ^q ( N ) (c’est-` a-dire a = (a _n ) _n est une suite de r´ eels telle que P |a _n | ^q < +∞

pour q fini ou telle que sup _n {|a _n |} < ∞ pour q = +∞). Montrer que l’application T qui ` a une suite b associe

T (b) :=

+∞

X

n=0

a n b n

est bien d´ efinie sur ` ^p ( N ) et que T est une application lin´ eaire continue de ` ^p ( N ) dans R . On demande de montrer la r´ eciproque.

Pour cela consid´ erer T une application lin´ eaire continue de ` ^p ( N ) dans R (donc T est born´ e), e ⁽ⁿ⁾ = (δ _nm ) _m , b _n = T (e ⁽ⁿ⁾ ) et montrer que pour toute ´ el´ ement u de ` ^p ( N ), T(u) = P ∞

m=0 u _m b _m .

En consid´ erant les sommes finies et en utilisant le th´ eor` eme de H¨ older, montrer que b = (b m )

est dans ` ^q ( N ) puis conclure (on pensera ` a distinguer les cas q fini et q = +∞).

Pour tout x > 0 on pose

Ch. Menini - 2015/2016 N1MA5012 - Int´ egration

Sujets d’expos´ es Sujet 1

En admettant le th´ eor` eme de convergence domin´ ee, d´ emontrer le th´ eor` eme de d´ erivation des int´ egrales ` a param` etre. Appliquer ce th´ eor` eme ` a la r´ esolution de l’exercice :

Pour tout x > 0 on pose

F (x) = Z +∞

0

dt t 2 + x

montrer que F est d´ erivable sur ]0, +∞[ et en d´ eduire que R +∞

0

dt

(t

+x)

= 1 2 π 2 x

1 . Donner les grandes lignes de la d´ emonstration que pour tout entier n

Z +∞

0

dt

(t 2 + x) n+1 = 1 × 3 × · · · × (2n − 1) 2 × 4 × · · · × 2n

π 2

1 x n+1/2 Sujet 2

En admettant le lemme de Fatou, donner une d´ emonstration du th´ eor` eme de convergence domin´ ee. Appliquer ce th´ eor` eme ` a la r´ esolution de l’exercice :

On suppose que la s´ erie trigonom´ etrique a 0 /2 + P ∞

n=1 [a n cos(nx) + b n sin(nx)] (a n , b n ∈ R ) converge simplement sur un intervalle [a, b] (a < b). On veut montrer que cela implique que a n et b n tendent vers 0. Autrement dit, ´ ecrivant a n cos(nx) + b n sin(nx) = r n cos(nx + ϕ n ) avec r n = p

a 2 n + b 2 n , on veut montrer que r n tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.

1. Que pouvez-vous dire de la suite (r n cos(nx + ϕ n )) ?

2. Montrer que si [a, b] = [−π, π] et que la convergence est uniforme, alors les coefficients a n et b n tendent vers 0 lorsque n tend vers l’infini.

3. On revient au cas g´ en´ eral et on suppose que (r n ) ne tend pas vers 0. Justifier qu’il existe alors un η > 0 et une sous-suite (r n

) telle que pour k, r n

> η.

4. En utilisant le th´ eor` eme de convergence domin´ ee, prouver que lim

k→∞

R b

a cos 2 (n k x+ϕ n

) dx = 0.

5. Expliciter cette derni` ere int´ egrale et conclure.

Sujet 3

Donner des exemples d’application du th´ eor` eme de Fubini et des contre-exemples lorsque toutes les hypoth` eses ne sont pas satisfaites.

A quel th´ eor` eme correspondent le th´ eor` eme de Tonelli lorsque l’un des deux espaces est ( N , P ( N ), µ d ) o` u µ d est la mesure de d´ enombrement ?

A quel th´ eor` eme correspond le th´ eor` eme de Fubini lorsque les deux espaces sont ( N , P ( N ), µ d ) ? En utilisant le th´ eor` eme de Fubini ou de Tonelli, et en faisant bien le lien entre l’´ enonc´ e du th´ eor` eme utilis´ e, calculer

1. R 8 0

R 2 y

√

x 4 + 1 dx

dy

2. le volume du cˆ one de hauteur h et rayon r.

Sujet 4

Enoncer le th´ ´ eor` eme de changement de variables puis l’appliquer en ayant soin de bien v´ erifier les hypoth` eses ` a la r´ esolution de l’exercice :

Soit B n la boule unit´ e euclidienne ouverte, c’est-` a-dire B n = {x ∈ R n : kxk < 1}. On note λ n la mesure de Lebesgue sur R n et v n = λ n (B n ). Montrer que pour tout entier n ≥ 3

v n = v n−2

Z

B

1 − kxk 2

dλ 2 (x)

puis retrouver ainsi la formule donnant v n en fonction de n.

Faites le lien entre le th´ eor` eme de changement de variables et l’aire d’un parall´ elogramme dans le plan ; le volume d’un parall´ el´ epip` ede dans l’espace.

Sujet 5

Donner une d´ emonstration du th´ eor` eme de H¨ older.

Que devient ce th´ eor` eme lorsque Ω = N et µ = µ d la mesure de d´ enombrement ? Dans la suite on prend 1 ≤ p < ∞ et q tel que 1 p + 1 q = 1.

On consid` ere a ∈ ` q ( N ) (c’est-` a-dire a = (a n ) n est une suite de r´ eels telle que P |a n | q < +∞

pour q fini ou telle que sup n {|a n |} < ∞ pour q = +∞). Montrer que l’application T qui ` a une suite b associe

T (b) :=

+∞

X

n=0

a n b n

est bien d´ efinie sur ` p ( N ) et que T est une application lin´ eaire continue de ` p ( N ) dans R . On demande de montrer la r´ eciproque.

Pour cela consid´ erer T une application lin´ eaire continue de ` p ( N ) dans R (donc T est born´ e), e (n) = (δ nm ) m , b n = T (e (n) ) et montrer que pour toute ´ el´ ement u de ` p ( N ), T(u) = P ∞

m=0 u m b m .

En consid´ erant les sommes finies et en utilisant le th´ eor` eme de H¨ older, montrer que b = (b m )

est dans ` q ( N ) puis conclure (on pensera ` a distinguer les cas q fini et q = +∞).

dt t ² + x

= ¹ ₂ ^π ₂ _x

¹ . Donner les grandes lignes de la d´ emonstration que pour tout entier n

(t ² + x) ⁿ⁺¹ = 1 × 3 × · · · × (2n − 1) 2 × 4 × · · · × 2n

1 x ^n+1/2 Sujet 2

On suppose que la s´ erie trigonom´ etrique a ₀ /2 + P ∞

n=1 [a _n cos(nx) + b _n sin(nx)] (a _n , b _n ∈ R ) converge simplement sur un intervalle [a, b] (a < b). On veut montrer que cela implique que a _n et b n tendent vers 0. Autrement dit, ´ ecrivant a n cos(nx) + b n sin(nx) = r n cos(nx + ϕ n ) avec r n = p

a ² _n + b ² _n , on veut montrer que r n tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini.

2. Montrer que si [a, b] = [−π, π] et que la convergence est uniforme, alors les coefficients a _n et b _n tendent vers 0 lorsque n tend vers l’infini.

3. On revient au cas g´ en´ eral et on suppose que (r n ) ne tend pas vers 0. Justifier qu’il existe alors un η > 0 et une sous-suite (r _n

) telle que pour k, r _n

a cos ² (n _k x+ϕ _n

A quel th´ eor` eme correspondent le th´ eor` eme de Tonelli lorsque l’un des deux espaces est ( N , P ( N ), µ _d ) o` u µ _d est la mesure de d´ enombrement ?

A quel th´ eor` eme correspond le th´ eor` eme de Fubini lorsque les deux espaces sont ( N , P ( N ), µ _d ) ? En utilisant le th´ eor` eme de Fubini ou de Tonelli, et en faisant bien le lien entre l’´ enonc´ e du th´ eor` eme utilis´ e, calculer

x ⁴ + 1 dx

Soit B _n la boule unit´ e euclidienne ouverte, c’est-` a-dire B _n = {x ∈ R ⁿ : kxk < 1}. On note λ _n la mesure de Lebesgue sur R ⁿ et v _n = λ _n (B _n ). Montrer que pour tout entier n ≥ 3

v _n = v n−2

1 − kxk ²

dλ ₂ (x)

puis retrouver ainsi la formule donnant v _n en fonction de n.

Que devient ce th´ eor` eme lorsque Ω = N et µ = µ d la mesure de d´ enombrement ? Dans la suite on prend 1 ≤ p < ∞ et q tel que ¹ _p + ¹ _q = 1.

On consid` ere a ∈ ` ^q ( N ) (c’est-` a-dire a = (a _n ) _n est une suite de r´ eels telle que P |a _n | ^q < +∞

pour q fini ou telle que sup _n {|a _n |} < ∞ pour q = +∞). Montrer que l’application T qui ` a une suite b associe

est bien d´ efinie sur ` ^p ( N ) et que T est une application lin´ eaire continue de ` ^p ( N ) dans R . On demande de montrer la r´ eciproque.

Pour cela consid´ erer T une application lin´ eaire continue de ` ^p ( N ) dans R (donc T est born´ e), e ⁽ⁿ⁾ = (δ _nm ) _m , b _n = T (e ⁽ⁿ⁾ ) et montrer que pour toute ´ el´ ement u de ` ^p ( N ), T(u) = P ∞

m=0 u _m b _m .

est dans ` ^q ( N ) puis conclure (on pensera ` a distinguer les cas q fini et q = +∞).