7. Mesure produit et th´ eor` eme de Fubini
1 Tribu produit
2 Mesure produit
3 Questions de mesurabilit´e
4 Tonelli ou le cas positif
5 Fubini ou le cas g´en´eral
1. Tribu produit
(X,A) et(Y,B) deux espaces mesurables.
Objectif : munir le produit cart´esien X×Y d’une tribu canonique.
Difficult´e : l’ensemble despav´es,
A × B={A×B : A∈ A, B ∈ B},
n’est pas une tribu.
Definition (tribu produit)
La tribu produit, not´eeA ⊗ B, est la tribu engendr´ee par les pav´es : A ⊗ B=σ(A × B)
2. Mesure produit
(X,A, µ) et (Y,B, ν) deux espaces mesurables mesur´es.
Objectif : munir l’espace mesurable produit (X×Y,A ⊗ B) d’une mesure canonique.
Hypoth`ese :(X,A, µ) et(Y,B, ν) sontσ-finis,i.e.
X =
∞
[
n=1
Xn avec Xn∈ A et µ(Xn)<+∞
Th´eor`eme (d´efinition de la mesure produit)
Il existe une unique mesure sur (X×Y,A ⊗ B), not´eeµ⊗ν, v´erifiant (∀A×B ∈ A × B) µ⊗ν(A×B) =µ(A)ν(B) L’espace mesur´e produit(X×Y,A ⊗ B, µ⊗ν) est aussiσ-fini.
3. Questions de mesurabilit´ e
Lemme (de mesurabilit´e)
1 Soit W ∈ A ⊗ B. Alors toutes ses“tranches” sont mesurables, pr´ecis´ement :
∀x∈X, Wx,• = {y∈Y : (x, y)∈W} ∈ B
∀y∈Y, W•,y = {x∈X : (x, y)∈W} ∈ A
2 Soit f :X×Y →[−∞,+∞]mesurable. Alors, pour toutx∈X, la fonction d´efinie par
fx,• :Y −→ [−∞,+∞]
y 7−→ fx,•(y) =f(x, y)
est mesurable. De mˆeme , les fonctionsf•,y sont mesurables.
4. Tonelli ou le cas positif
Th´eor`eme (Tonelli)
Soit f :X×Y →[0,+∞]mesurable. Alors l’application
FX : X −→ [0,+∞]
x 7−→
Z
Y
f(x, y)dν(y)
est (X,A)-mesurable, de mˆemeFY est (Y,B)-mesurable, et on a : Z
X×Y
f dµ⊗ν = Z
X
Z
Y
f dν
| {z }
=FX
dµ= Z
Y
Z
X
f dµ
dν ∈[0,+∞]
D’abord pourf(x, y) =1A×B(x, y) =1A(x)1B(y), puis . . .
5. Fubini ou le cas g´ en´ eral
Th´eor`eme (Fubini)
Soit f :X×Y →Cmesurable. Sif ∈L1(X×Y,A ⊗ B, µ⊗ν), alors on a : (i)
( ∀µ−pp x∈X, fx,• ∈L1(Y,B, ν)
∀ν−pp y ∈Y, f•,y ∈L1(X,A, µ) (ii)
Z
X×Y
f dµ⊗ν= Z
X
Z
Y
f dν
| {z }
=FX
dµ= Z
Y
Z
X
f dµ
dν ∈C
