Pour tout entier n , on note T n = f (n) (0)

MPSI B Énoncé du DM 09 29 juin 2019

Problème

On considère

la fonction dénie dans R par f (x) = e ^(e

Pour tout entier n , on note T _n = f ⁽ⁿ⁾ (0)

1. a. Calculer f

(x) puis la dérivée n -ième de f en fonction des f ^(k) , pour k entre 0 et n − 1 . Vérier que f ⁽ⁿ⁾ ne prend sur R que des valeurs strictement positives.

b. Vérier que pour tout x ∈] − ¹ _e , ¹ _e [ et n entier

|f ⁽ⁿ⁾ (x)| ≤ 2e n ⁿ 2. a. Montrer que pour tout x ∈] − ¹ _e , ¹ _e [ , la suite

( x ⁿ n ⁿ n! ) _n∈N converge vers 0.

b. Montrer que pour tout x ∈] − ¹ _e , ¹ _e [ , la suite (

n

X

k=0

T k

k! x ^k ) _n∈N converge vers f (x) .

3. a. Pour p ∈ N xé, montrer la convergence de la suite

( 1 e

n

X

k=0

k ^p k! ) n∈

On note U _p sa limite.

b. Vérier que pour tout p ∈ N

U p+1 =

p

X

k=0

C _p ^k U k

c. Montrer que pour tout p ∈ N

T p = U p

D'après ENGEES 99 B PSI

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