Pour tout entier naturel n , on considère deux fonctions polynomiales dénies dans R f

(1)

MPSI B 2008-2009 DS Commun 2 29 juin 2019

Exercice 1

Pour tout entier naturel n , on considère deux fonctions polynomiales dénies dans R f

_n

(x) = 1 + x + x

²

+ · · · + x

ⁿ

g

n

(x) = 1 + 2x + 3x

²

+ · · · + nx

ⁿ⁻¹

On se xe un réel a > 1 et on s'intéresse à une suite de nombres réels strictement positifs (α

n

)

_n∈_N_−{0,1}

telle que

∀n ∈ N − {0, 1} : g

n

(α

n

) = a

1. a. Montrer que pour tout entier n ≥ 2 , il existe un unique réel strictement positif α

n

tel que g

n

(α

n

) = a .

b. Montrer que la suite (α

n

)

_n∈_N_−{0,1}

est strictement décroissante.

c. Montrer qu'il existe un entier N tel que

∀n ≥ N : α

_n

< 1

d. Montrer que la suite (α

n

)

_{n∈N−{0,1}}

converge. On note α sa limite. Montrer que 0 ≤ α < 1

e. Montrer que les trois suites (α

ⁿ_n

)

_n∈_N_−{0,1}

, (nα

ⁿ_n

)

_n∈_N_−{0,1}

et (n

²

α

ⁿ_n

)

_n∈_N_−{0,1}

convergent vers 0 .

2. a. Montrer que, pour tout x diérent de 1 , g

n

(x) = 1

(1 − x)

²

− (n + 1)x

ⁿ

1 − x − x

ⁿ⁺¹

(1 − x)

²

b. Montrer que pour tout x ∈ [0, 1[ xé, la suite (g

n

(x))

_n∈_N_−{0,1}

est croissante et converge vers

1 (1 − x)

²

3. a. Montrer que

1 (1 − α)

²

≤ a b. Montrer qu'il existe un β ∈]0, 1[ tel que

1 (1 − β)

²

= a

c. Montrer que β ≤ α et en déduire

α = 1 − 1

√ a

4. Dans cette question a = 4 donc α =

¹₂

. On se propose de trouver un équivalent pour la suite (ε

n

)

_n∈_N_−{0,1}

telle que

∀n ∈ N − {0, 1} : α

_n

= 1

2 (1 + ε

_n

) a. Montrer que, pour tous les n non nuls,

−2ε

n

+ ε

²_n

= − 1 − ε

n

2 (n + 1)α

ⁿ_n

− α

ⁿ⁺¹_n

b. Montrer que

ε

n

∼ 1 4 nα

ⁿ_n

c. Montrer que (nε

n

)

_n∈_N_−{0,1}

converge vers 0 .

En déduire la limite de ((1 + ε

n

)

ⁿ

)

_n∈_N_−{0,1}

et une suite simple équivalente à (ε

n

)

_n∈_N_−{0,1}

.

Problème 1

Dans cet exercice, X est un ensemble ni quelconque. Il faut bien noter qu'aucune opé- ration n'est dénie sur X .

On considère un sous-espace vectoriel V du C-espace vectoriel F(X, C ) des fonctions dé- nies sur X et à valeurs complexes. Ce sous-espace V est de dimension p ≥ 1 .

On note V

^∗

= L(V, C ) l'espace des applications linéaires de V vers C (formes linéaires).

Pour tout x ∈ X , on dénit x

^∗

∈ V

^∗

par :

∀v ∈ V : x

^∗

(v) = v(x)

On se propose de montrer qu'il existe une famille (x

1

, · · · , x

p

) d'éléments de X et une base (v

1

, · · · , v

p

) de V telles que :

∀(i, j) ∈ {1, 2, · · · }

²

: v

i

(x

j

) =

( 1 si i = j 0 si i 6= j

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S0807E

(2)

MPSI B 2008-2009 DS Commun 2 29 juin 2019

1. Montrer que la dimension de F(X, C ) est égale au nombre d'éléments de X . Que peut-on en déduire pour p ?

2. On suppose qu'il existe une famille (x

1

, · · · , x

p

) d'éléments de X telle que (x

^∗₁

, · · · , x

^∗_p

) soit une base de V

^∗

. On note

A = {x

1

, · · · , x

p

}

Pour tout v ∈ V , on désigne par v

_|A

la restriction de v à A . a. Montrer que l'application R dénie par :

R :

( V → F (A, C ) v → v

_|A

est un isomorphisme.

b. Montrer qu'il existe une base (v

₁

, · · · , v

_p

) de V telles que :

∀(i, j) ∈ {1, 2, · · · }

²

: v

_i

(x

_j

) =

( 1 si i = j 0 si i 6= j

3. On se propose de montrer maintenant qu'il existe une famille (x

₁

, · · · , x

_p

) d'éléments de X telle que (x

^∗₁

, · · · , x

^∗_p

) soit une base de V

^∗

.

a. Montrer qu'il existe un élément x de X tel que (x

^∗

) soit une famille libre de V

^∗

. b. Parmi les familles (x

1

, · · · , x

q

) d'éléments de X telle que (x

^∗₁

, · · · , x

^∗_q

) soit libre,

on en considère une maximale. C'est à dire telle que : (x

^∗₁

, · · · , x

^∗_q

) libre

∀x ∈ X : (x

^∗₁

, · · · , x

^∗_q

, x

^∗

) liée

Montrer que q ≤ p . Montrer que V est inclus dans un sous-espace vectoriel de F(X, C ) engendré par q fonctions. En déduire que p = q et que (x

^∗₁

, · · · , x

^∗_p

) est une base de V

^∗

.

Problème 2

Si P est un polynôme à coecients réels et x un nombre réel, on convient de noter P e (x) le nombre réel obtenu en substituant x à X dans P .

Dans tout le problème, n et k sont deux entiers xés :

n ≥ 3 1 < k < n

Pour tout entier m , R

m

[X ] désigne le R-espace vectoriel formé par les polynômes de degré inférieur ou égal à m et le polynôme nul. On note en particulier

E = R

2n−2

[X ] A = R

n−1

[X ]

On se donne n nombres réels

x

₁

< x

₂

< · · · < x

_n

Il est à noter que, parmi ces nombres, x

k

(avec k xé au début) va jouer un rôle particulier.

On dénit le polynôme L :

L = (X − x

1

)(X − x

2

) · · · (X − x

n

) Pour chaque entier i entre 1 et n , on dénit un polynôme L

i

par :

L

i

= Y

j∈{1,···,n}−{i}

X − x

j

x

_i

− x

_j

Partie I

On dénit une application Φ de E dans R

²ⁿ⁻¹

par : P →

P(x e

1

), P e (x

2

), · · · , P e (x

n

), f P

⁰

(x

1

), · · · , P f

⁰

(x

_k−1

), f P

⁰

(x

k+1

), · · · , f P

⁰

(x

n

)

Il est à noter que P f

⁰

(x

_k

) ne gure pas dans la famille.

1. Montrer que si un polynome P est dans le noyau de Φ , il est divisible par L . 2. Montrer que Φ est un isomorphisme.

Pour chaque (t

1

, · · · , t

n

) ∈ R

ⁿ

, il existe donc un unique polynôme (noté T ) tel que Φ(T ) = (t

1

, · · · , t

n

, 0, 0, · · · , 0)

La suite du problème précise une propriété de T dans le cas particulier où

t

₁

= t

₂

= · · · = t

_k

= 1 t

k+1

= t

k+2

= · · · = t

n

= 0

2

(3)

MPSI B 2008-2009 DS Commun 2 29 juin 2019

Fig. 1: Graphe de T pour n = 7 et k = 4

Partie II

Pour chaque entier i entre 1 et n et diérent de k , on dénit un polynôme Λ

i

par :

Λ

_i

= (X − x

_i

)(X − x

_k

) Y

j∈{1,···,n}−{i,k}

(X − x

_j

)

²

1. Préciser pour tout couple (i, j) d'entiers entre 1 et n les valeurs de f L

i

(x

j

) .

2. Montrer que (L

₁

, · · · , L

_n

) est une base de A . Préciser les coordonnées d'un polynôme P dans cette base.

3. Pour tout i diérent de k entre 1 et n , montrer que Λ f

⁰_i

(x

i

) 6= 0 et que

∀j ∈ {1, · · · , n} : Λ f

i

(x

j

) = 0

∀j ∈ {1, · · · , n} tel que j 6= i et j 6= k : Λ f

⁰_i

(x

j

) = 0

4. a. Montrer que

(L

1

, · · · , L

n

, Λ

1

, · · · , Λ

k−1

, Λ

k+1

, · · · , Λ

n

) est une base de E .

b. Calculer les coordonnées de T dans cette base.

5. a. Montrer que T

⁰

admet 2n − 3 racines distinctes et préciser leurs positions par rapport aux x