D1986. L'orth-au-centre
Démontrer que le rayon du cercle (Γ) circonscrit à un triangle ABC est égal au rayon du cercle exinscrit touchant BC en A’, CA en B’ et AB en C’ si et seulement si l’orthocentre du triangle A’B’C’ est au centre du cercle (Γ).
Supposons les points A', B', C' placés sur le cercle Γ de centre O et rayon 1 avec les coordonnées suivantes : A'(a,d), B'(b,c), C'(- b,c). On suppose d>c>0 et b>0.
Les 3 tangentes à Γ en A', B', C' ont pour équations : ax+dy=1, bx+cy=1, -bx+cy=1 et leurs points d'intersections sont A(0,1/c), B[(c-d)/(ac+bd), (a+b)/(ac+bd)], C[(c-d)/(ac-bd), (a-b)/(ac-bd)]
La médiatrice de AB : x + yb/c = (2abc+c+db²-dc²) / [2c²(ac+bd)]
La médiatrice de AC : x - yb/c = (-2abc+c+db²-dc²) / [2c²(ac–bd)] (obtenue par b→ –b ) Le centre du cercle (ABC) : x= a(c-d)/[2c(a²c² – b²d²] y= (2c+d)(c-d)/[2c(a²c² – b²d²]
L'orthocentre H (symétrique de (a,-d) par rapport à la corde B'C') x=a y= 2c+d
Ils sont confondus si et seulement si c-d = 2c(a²c² – b²d²).
On simplifie a²c² – b²d² = (1 – d²)c² – (1 – c²)d² = c² – d² et comme c – d ≠ 0, La condition N&S pour que H soit le centre du cercle (ABC) est 2c(c+d) = 1.
Posons a=cos u, d=sin u, b=cos t, c=sin t. L'angle BÂC vaut 2 fois l'angle (Ox, OB'), BÂC=2t.
Soit R le rayon du cercle(ABC). BC= 2R.sin(2t).
Mais, autre calcul, BC = BA' + A'C = cotan((u+t)/2) + tan((u-t)/2)
BC = [cos(u+t)/2) .cos(u-t)/2) +sin(u+t)/2) .sin(u-t)/2) ]/[cos(u-t)/2) .sin(u+t)/2)]
BC = cos t / [1/2(sin u + sin t)] = 2 cos t / (sin u + sin t) La condition N&S pour que R=1 est que 2 sin(2t) = 2 cos t / (sin u + sin t) on divise par 2 cos t qui n'est pas nul : 2 sin t = 1/(sin u + sin t) R=1 équivaut à 2c(c+d) = 1.
Il y a bien équivalence entre les deux assertions : ''Les cercles (A'B'C') et (ABC) ont même rayon'' et ''L'orthocentre du triangle A'B'C' est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC''
