Soient B (-c,0) et C (c,0) Soit A' l'intersection du cercle de centre B et de rayon 3a et de l'axe des y. 9ܿ

D1912. Le ratio de la cocyclicité

On trace un triangle ABC dont le périmètre vaut quatre fois la longueur du côté BC.Le cercle inscrit de ce triangle a pour centre I et touche les côtés AC et AB respectivement en E et F. On désigne par K et L les symétriques de E et F par rapport à I. Démontrer que les quatre points B,C,K et L sont sur un même cercle et que celui-ci est tangent au cercle circonscrit au triangle AEF.

Soient B (-c,0) et C (c,0)

Soit A' l'intersection du cercle de centre B et de rayon 3a et de l'axe des y.

9 = + ⇒ = √8 Le point A est situé sur l'ellipse de foyers B et C passant par A', d'équation

+ = 1

et = √8 sont les demi-axes de l'ellipse, on a : = √− ⇒ = 3

Les coordonnées de sont donc = , = √18 − 2 Les droites et ont pour équation :

y =2√2

3 √9−

+ + et y =2√2

3 √9−

− − Leurs bissectrices avec l'axe Ox ont pour équation :

= √9−

√2 + 3 + et y = − + 3

√2√9− − Et les coordonnées de ", centre du cercle inscrit _#, sont :

_# =

3 et ^# =√9− 3√2 Le rayon du cercle inscrit, tangent à = $ est donc :

%_# =√9− 3√2 Les coordonnées de & et ' sont :

₍ =+ 3 − 6

+ 9 et y_* = 2√2 + 3√9− 3 + 9 ₊ =− 3 − 6

− 9 et y_, =2√2 − 3√9− 3 − 9

Les coordonnées de - et ., symétriques de & et ' par rapport à ", sont : _/ =−+ 9 + 18

3 + 9 et y₀= − √2 − 3√9− 3 + 9 ₁ = −− 9 + 18

3 − 9 et y₂ = − √2 + 3√9− 3 − 9 L'équation du cercle ₃ passant par , et - est :

+ 4 +√9 − 6√2 5

= 81− 72

L'équation du cercle ₃ passant par , et . est la même, donc les quatre points , , - et . sont cocycliques.

L'équation de cercle passant par , & et ' est : 7 −2

3 8

+ 4 −5√9− 6√2 5

=81− 72

Et il a même rayon que ₃.

La distance entre les centres de ces deux cercles est :

:723 8

+ 4−√9−

6√2 −5√9− 6√2 5

= √81− 3√2

C'est la somme des rayons de ₃ et (le double en l'occurrence) , donc les deux cercles sont tangents.

Et en " puisque :

_#+ 4_# +√9− 6√2 5

−81−

72 = 7_#−2 3 8

+ 4_#−5√9− 6√2 5

−81− 72 = 0

On peut dire en plus que :

• " est le milieu des centres des cercles de 3 et

• Le centre du cercle circonscrit à , , est situé sur la médiatrice de

• Et je dois en oublier

Formules utilisées :

• Cercle de centre x0, y0 et de rayon r passant par 3 points x1, y1, x2, y2, x3, y3

o abscisse du centre

c3ptsx[x1_, y1_, x2_, y2_, x3_, y3_]: =x1+ y1y3 − y2 + x2+ y2y1 − y3 + x3+ y3y2 − y1 2x1y3 − y2 + x2y1 − y3 + x3y2 − y1

o ordonnée du centre

c3ptsy[x1_, y1_, x2_, y2_, x3_, y3_]: =x1+ y1x2 − x3 + x2+ y2x3 − x1 + x3+ y3x1 − x2 2x1y3 − y2 + x2y1 − y3 + x3y2 − y1

o rayon

c3ptsr[x1_, y1_, x2_, y2_, x3_, y3_]: = :x1 − x2+ y1 − y2x1 − x3+ y1 − y3x2 − x3+ y2 − y3 4x3−y1 + y2 + x2y1 − y3 + x1−y2 + y3

• Bissectrice de D1: = m1 + p1 et D2: = m2 + p2 = ±1

bissectrice[m1_, p1_, m2_, p2_, ε_]: =^{S3TUSVWXYWZWXYZZ}

3TUV^WXYWZ_WXYZZ +^{[3TU[VWXYWZWXYZZ}

3TUV^WXYWZ_WXYZZ

• droite passant par M1(x1,y1) et M2(x2,y2)

droite[x1_, y1_, x2_, y2_]: =^\]\3_^]^3 + y1 −^\]\3_^]^3x1