D1912 – Le ratio de cocyclicité
On trace un triangle ABC dont le périmètre vaut quatre fois la longueur du côté BC. Le cercle inscrit de ce triangle a pour centre I et touche les côtés AC etAB respectivement enE et F. On désigne par K et L les symétriques deE etF par rapport àI. Démontrer que les quatre pointsB, C, K etLsont sur un même cercle et que celui-ci est tangent au cercle circonscrit au triangle AEF.
Solution proposée par Michel ROME
B C
A
I E
B0 A0
O M
La figure ne présente que le nécessaire :Ile centre du cercle inscrit,Ele contact de celui-ci avec le côté AC. Il faut savoir que dans un triangle en général,
AI2 = bc(b+c−a) a+b+c
(a, b, csont les longueurs des côtés et ple demi-périmêtre.)
Ici on obtient 2AI2 =bc. SoitB0 le symétrique deB par rapport à la bissectrice AI ( il se trouve sur la droite (AC)) et A0 symétrique de A par rapport à I.
On a donc AI.AA0 =AB0.AC. cette formule montre que B0, C, I, A0 sont sur un même cercle.
Cherchons son centre.
La médiatrice de B0C passe par M le milieu de celui-ci, d’où AM = (AB0+ AC)/2 = 3/2. Perpendiculaire à (AC) elle est parallèle à IE.
Longueur de AE, égale à p−b, vaut 1.
Le théorème de Thalès assure que la médiatrice de B0C passe par le milieuO deIA0.
Donc le cercleB0, C, I, A0 est de centreO et de diamètreIA0. La symétrie par rapport à la bissectrice assure que ce cercle passe par B.
Les symétries par rapport I et par rapport à AI assurent toutes les autres propriétés.
