D1901. Un angle et son multiple
Soit un triangle scalène ABC dont l’angle en A est inférieur à 45°. On trace les points P et Q respectivement
symétriques de B et de C par rapport aux côtés AC et AB. La perpendiculaire issue de A à PQ rencontre la médiatrice de BC en un point D. Démontrer que l’angle BDC est un multiple entier de l’angle en A.
Soient (0,0), (, 0) et (, )
1. L'équation de la droite () est :
=
2. L'équation de la droite orthogonale à () passant par , est définie par (avec (, ) ) : . = 0 ⇒ ( − 0)( − ) + ( − 0)( − 0) = 0 ⇒ = −
+ 3. L'intersection de ces deux droites est :
= = −
+
⇒
= + =
+ 4. Le point symétrique de par rapport à () est défini par :
= ⇒
!−
+ = + − !−
+ =
+ − 0 ⇒
!= 2 + − ! = 2
+ 5. Les coordonnées du point symétrique # de par rapport à sont #(, −)
6. Et l'équation de la droite ($%) passant par et # est : ($%): = − (+ 2 + )
( − )+ ( + ) − (− 3) ( − )+ ( + )
7. La perpendiculaire ($) à la droite ($%) , qui passe par , a pour équation : ($): y =( − )+ ( + )
(+ 2 + ) 8. La médiatrice ($)) du segment a pour équation :
($)): = −
++ − 2
9. Le centre * du cercle (%) circonscrit au triangle est situé sur la médiatrice de et sur ($)) médiatrice de , donc
+ = − 0 2 =
2 et + =− + 2 10. L'intersection $ de ($) et ($)) est donnée par :
( − )+ ( + )
(+ 2 + ) = −
++ −
2 ⇒ , - =2 + + 4 - =( − )
4 +( + ) 4
11. $ est le centre du cercle défini par , et *
$ = / −2 + +
4 0+ 10 −( − )
4 −( + ) 4 2
=(( − )+ )(+ ) 16
$= / −2 + +
4 0+ 1 −( − )
4 −( + ) 4 2
=(( − )+ )(+ ) 16
$* = /
2 −2 + +
4 0+ /− +
2 −( − )
4 −( + ) 4 0
=(( − )+ )(+ ) 16
Donc on a : $ = $ = $* , alors $ , équidistant des points , , * est le centre du cercle () portant ces trois points.
12. Pour finir,
Dans le cercle (%) de centre *, l'angle inscrit 5 intercepte le même arc que l'angle au centre *5 donc ∶ *5 = 2 5
Dans le cercle () de centre $, l'angle inscrit *5 intercepte le même arc que l'angle au centre $5 donc ∶ $5 = 2*5
