D1901. Un angle et son multiple
Soit un triangle scalène ABC dont l’angle en A est inférieur à 45°. On trace les points P etQ respectivement symétriques de B et deC par rapport aux côtés AC et AB. La perpendiculaire issue deAàPQrencontre la médiatrice deBCen un pointD.
Démontrer que l’angleBC D est un multiple entier de l’angle en A.
Solution de Claude Felloneau
On désigne parOle centre du cercle circonscrit au triangleABC, on prendO Apour unité de longueur et on se place dans un repère orthonormal direct³
O,→− u,−→
v´
où la média- trice de [BC] est l’axe des abscisses.
b
A
b
B
b C
bP
bQ
O
D
Il existe des réelsαetβtels que les affixes des pointsA,BetCsoient respectivement eiα, eiβet e−iβ.
La symétrie d’axe (AB) s’écrit sous forme complexe :z0= −ei(α+β)z+eiα+eiβ. DoncQa pour affixeq= −ei(α+2β)+eiα+eiβ.
De même,Pa pour affixep= −ei(α−2β)+eiα+e−iβ. On a alors : q−p=ei(α−2β)−ei(α+2β)+eiβ−e−iβ=¡
e−2iβ−e2iβ¢µ
eiα− 1 eiβ+e−iβ
¶ . Comme ¡
e−2iβ−e2iβ¢
= −2i sin(2β) est imaginaire pur, le vecteur−−→
PQ est orthogonal au vecteur−→
AEoùEest le point d’affixe 1
eiβ+e−iβ = 1
2 cosβqui est réel. DoncDest confondu avecE.
De plus, B D=
¯¯
¯¯eiβ− 1 eiβ+e−iβ
¯¯
¯¯=
¯¯
¯¯
¯ e2iβ eiβ+e−iβ
¯¯
¯¯
¯= 1
2|cosβ|=OD.
DoncDest le centre du cercle circonscrit au triangleOBC.
D’après le théorème de l’angle inscrit, siB AC est inférieur à 45°, BOC =2B AC et B DC =2BOC. Ainsi :
B DC=4B AC.
