D1901 – Un angle et son multiple
Soit un triangle scalène ABC dont l’angle en A est inférieur à 45°. On trace les points P et Q respectivement symétriques de B et de C par rapport aux côtés AC et AB. La perpendiculaire issue de A à PQ rencontre la médiatrice de BC en un point D. Démontrer que l’angle BDC est un multiple entier de l’angle en A.
Solution analytique par Patrick Gordon
On prend l'origine en A et l'axe des x dans le sens de A vers B. On note l'angle BAC. On note naturellement a, b, c, les longueurs des côtés opposés aux sommets A, B, C.
Dans ce repère les points suivants ont les coordonnées suivantes :
x y
A 0 0
B c 0
C b cos b sin
P c cos 2 c sin 2
Q b cos – b sin
Avec ces éléments, on peut écrire l'équation de la perpendiculaire issue de A à PQ et celle de la médiatrice de BC.
On en déduit les coordonnées de leur point d'intersection D : x = c / 2 + b / 4cos
y = b / 4sin – c cos 2 /2 sin 2
On calcule alors BD² = (b / 4cos – c / 2)² + (b / 4sin – c cos 2 /2 sin 2)².
En simplifiant, on trouve : BD² = a² / 4 sin² 2
C'est-à-dire :
BD = a / 2 sin 2
Mais, dans le triangle BCD (isocèle), on a : BD = a / 2 sin (BDC/2).
On en déduit : BDC = 4 .
