Donner la formule permettant de calculer cos(a−b) et celle de sin(a+b)

TSI 1 DS Lycée Les Lombards

DS 2 - Octobre 2020

Le devoir est constitué d’exercices indépendants qui pourront être abordés dans un ordre quelconque.

Une attention particulière sera apportée au soin et à la rédaction. Le soin et la rédaction sont notés sur2 points (total : 21 points) .

Les calculatrices sont interdites

Durée : 2h

Exercice 1. 3 points.

Questions de cours

1. Donner la formule permettant de calculer cos(a−b) et celle de sin(a+b).

2. Donner la formule permettant de calculer tan(2x) en fonction de tan(x).

3. Déterminer la formule permettant de factoriser cos(p) + cos(q) (on pourra poser p= ^p+q₂ +^p−q₂ et p=

p+q

2 −^p−q₂ ).

Exercice 2. 9 points.

Résoudre chacune des équations et inéquations trigonométriques ci dessous.

Pour chacune d’elles, on donnera l’ensemble des solutions, puis on représentera les solutions sur le cercle trigo- nométrique. Enfin on donnera les solutions appartenant à l’intervalle [0; 2π[.

1. cos²(2x) =¹₄

2. sin(x) = 2 cos²(x)−1 3. 2 cos²(x) + cos(x) = 0 4. cos(x) = cos ^π₉ 5. 2 sin(4x) +√

3 = 0 6. cos(x) + sin(x) =−1 7. cos²(x)≤ ¹₂

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Exercice 3. 6 points.

Résolution d’une équation en utilisant la trigonométrie.

1. (a) Soitθ∈R. Exprimer cos²(θ) en fonction de cos(2θ). On démontrera la formule.

(b) Montrer que, pour tout réelθ, cos(^π₈) =

√

2+√ 2

2 et cos(^3π₈ ) =

√

2−√ 2 2

(c) En déduire les valeurs de sin(^3π₈) et sin(^π₈).

2. Montrer que cos(3θ) = 4 cos³(θ)−3 cos(θ) 3. On veut résoudre dansRl’équation :

8x³−6x− q

2−√ 2 = 0 On admet que cette équation admet au plus trois solutions réelles

(a) Rechercher les solutions de cette équation appartenant à l’intervalle [−1; 1] en posantx= cos(θ). On les exprimera à l’aide de cosinus.

(b) Conclure.

Exercice 4. bonusDeux agriculteurs possèdent des champs ayant un côté commun de longueur inconnue. L’un est de forme carrée, l’autre a la forme d’un triangle rectangle de base 100 m.

Sachant que les deux champs sont de surface égale, calculer la longueur de leur côté commun.

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