Enoncé D1862 (Diophante) Points de tangence
Soit un triangle scalène ABC. On trace quatre cercles : – le cercle (Γ) de centre O circonscrit à ce triangle, – le cercle inscrit (ω) de centreI,
– le cercle exinscrit (Ω) de centre J dans le secteur de l’angle enA, – le cercle (γ) de diamètreIJ.
Les cercles (ω) et (γ) se coupent enP etQ et leurs tangentes communes se coupent au pointR. Les cercles (Ω) et (γ) se coupent enS etT et leurs tangentes communes se coupent au point U.
Démontrer que les cercles (P QR) et (ST U) sont tangents au cercle (Γ) et que les deux points de tangence sont situés sur une droite parallèle à BC.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Classiquement, la considération des bissectrices des angles B etC du tri- angle montre que B et C appartiennent à (γ) ; le centre M de ce cercle, milieu de IJ, est le milieu de l’arcBC de (Γ).
Les rayons des cercles sont r pour (ω), r0 = rcot(B/2) cot(C/2) pour (Ω). IJ = (r0 − r)/sin(A/2), et le rayon de (γ) est m = IJ/2 = r/(2 sin(B/2) sin(C/2)) = dsin(A/2) =a/(2 cos(A/2)) si d = a/sinA = b/sinB =c/sinC est le diamètre de (Γ).
Je travaille en coordonnées barycentriques de baseA, B, C. (Γ) admet pour équation −a2yz−b2zx−c2xy= 0.
Le cercle (γ), qui aBC pour axe radical avec (Γ), admet une équation de la forme lx(x+y+z)−a2yz−b2zx−c2xy = 0. Son passage parI(a, b, c) donne l=bc.
1/ Cercle (P QR)
L’équation de (ω), de la forme (lx+my+nz)(x+y+z)−a2yz−b2zx−c2xy = 0, se réduit pourx= 0 à (y(p−b)−z(p−c))2 = 0 (racine double au point D de contact BD=p−b, DC =p−c), d’où (p−b)2/m= (p−c)2/n=
−2(p−b)(p−c)/(m+n−a2) = (p−b+p−c)2/a2 = 1.
Les conditions analogues pour le contact avec les autres côtés conduisent àl= (p−a)2,m= (p−b)2,n= (p−c)2.
Dans chacune de ces équations de cercles, le premier membre s’interprète comme la puissance d’un pointE(x, y, z) par rapport au cercle si les coor- données sont normalisées (x+y+z= 1). Je noterai cette fonctionW(E,Γ) pour−a2yz−b2zx−c2xy, par exemple.
Les cercles passant parP etQforment un faisceau admettant une équation de la forme λW(E, γ) + (1−λ)W(E, ω) = 0. Le passage par le point R détermineλet donne l’équation
W(E, γ)W(R, ω)−W(E, ω)W(R, γ) = (W(R, ω)−W(R, γ))W(E, P QR) = 0.
Le pointR est défini par les égalités vectorielles RM/m=RI/r=IM/(m−r).
PuisW(R, γ) =RM2−m2 =m2(IM2/(m−r)2−1),
W(R, ω) =RI2−r2 =r2(IM2/(m−r)2−1), et (P QR) admet l’équation r2W(E, γ)−m2W(E, ω) = 0.
Le faisceau formé par ce cercle et Γ comporte une conique dégénérée en deux droites : si je retranche la quantité (r2−m2)W(E,Γ) nulle sur (Γ), l’expression restante se factorise : le facteurx+y+zs’annule sur la droite de l’infini où les points communs sont les points cycliques, et le facteur r2bcx−m2(x(p−a)2+y(p−b)2+z(p−c)2) s’annule sur une droite axe radical des deux cercles, joignant leurs points d’intersection à distance finie.
Posantµ= (p−a)2−bcr2/m2, l’équation de cette droite est
µx+y(p−b)2+z(p−c)2= 0, et substituantxdans l’équation de Γ, on a
−a2µyz+ (b2z+c2y)(y(p−b)2+z(p−c)2) = 0.
Commebc=d2sinBsinC= (d2/2)(cosA+ cos(B−C)) =
d2(cos2(A/2)−sin2(B/2−C/2)) = (1−(b−c)2/a2)m2cot2(A/2) = (1−(b−c)2/a2)m2(p−a)2/r2,
µ= (p−a)2(b−c)2/a2, et comme (c−b)(p−a) =b(p−b)−c(p−c), le coefficient deyz est b2(p−b)2+c2(p−c)2−(b(p−b)−c(p−c))2 = 2bc(p−b)(p−c).
L’équation se réduit à (yc(p−b) +zb(p−c))2 = 0. La racine double montre que les deux cercles sont tangents à leur axe radical au point (x, y, z) vérifiant
−b(p−c)
y = c(p−b)
z = p(c−b)
y+z = b(p−b)2(p−c)−c(p−b)p−c)2
µx =
(p−b)(p−c)(c−b)(p−a)
µx = (p−b)(p−c)a2 (c−b)(p−a)x, puis p(p−a)(c−b)2
y+z = (p−b)(p−c)a2
x .
Avec p(p −a) = bccos2(A/2), (p −b)(p −c) = bcsin2(A/2), c −b = 2dsin(C/2−B/2) sin(A/2), les numérateurs sont (a2bc/2)(1−cos(B−C)) et (a2bc/2)(1−cosA), ce qui détermine la position de la parallèle àBC passant par le point de contact : x
x+y+z = 2−2 sinBsinC 1−cosA . 2/ Cercle (ST U)
La même méthode s’applique : l’équation de (Ω), de la forme (lx+my+ nz)(x+y+z)−a2yz−b2zx−c2xy = 0, se réduit pour y = 0 à (px+ (p−b)z)2 = 0, et pour z = 0 à (px+ (p−c)y)2 = 0. Cela donne l =p2, m= (p−c)2,n= (p−b)2.
L’équation générale des cercles passant parS etT conduit à l’équation du cercle (ST U) :
W(E, γ)W(U,Ω)−W(E,Ω)W(U, γ) = (W(U,Ω)−W(U, γ))W(E, ST U) = 0.
Le point U est défini par les égalités vectorielles U M/m=U J/r0 =M J/(r0−m).
On a ainsi W(U, γ) =U M2−m2=m2(M J2/(r0−m)2−1),
W(U,Ω) =U J2−r02 =r02(M J2/(r0−m)2−1), d’où l’équation de (ST U) : r02W(E, γ)−m2W(E,Ω) = 0.
Les cercles (ST U) et (Γ) admettent pour axe radical la droite d’équation p2x+ (p−c)2y+ (p−b)2z−bcxr02/m2= 0.
Posons µ=p2−bcr02/m2; on a (cf. supra)bc = (1−(b−c)2/a2)m2(p− a)2/r2= (1−(b−c)2/a2)m2p2/r02, d’oùµ=p2(b−c)2/a2.
Dans l’équation de (Γ), substituonsx tiré de−µx=y(p−c)2+z(p−b)2. on obtient
−a2µyz+ (b2z+c2y)(y(p−c)2+z(p−b)2) = 0.
Commep(b−c) =b(p−c)−c(p−b), le coefficient de yz est b2(p−c)2+c2(p−b)2−(b(p−c)−c(p−b))2 = 2bc(p−b)(p−c),
et l’équation se réduit à (c(p−c)y+b(p−b)z)2 = 0. A nouveau, racine double, avec pour le point de contact
−b(p−b)
y = c(p−c)
z = (b−c)(p−a) y+z =
−b(p−b)(p−c)2+c(p−c)(p−b)2
−µx = p(p−b)(p−c)(c−b)
−µx =
(p−b)(p−c)a2
p(b−c)x puis à nouveau p(p−a)(b−c)2
y+z = (p−b)(p−c)a2
x ,
entraînant la même valeur de x/(x+y+z) et la même parallèle à BC, CQFD.
