Enoncé D1812 (Diophante) Un point de rencontre Dans un triangle

Enoncé D1812 (Diophante) Un point de rencontre

Dans un triangleABC, on trace les médiatrices des trois côtésBC, CAetABet on prend respectivement les trois points quelconques D, E, F sur ces médiatrices. Démontrer que les perpendiculaires à EF, F D et DE passant respectivement par A, B et C sont concourantes.

Généralisation pour les plus courageux : démontrer que si les per- pendiculaires menées des sommets d’un triangle ABC aux côtés correspondants d’un triangle A⁰B⁰C⁰ sont concourantes, alors les perpendiculaires menées des sommets du triangleA⁰B⁰C⁰ aux cô- tés correspondants deABC sont concourantes.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Allons-y pour la généralisation, où je vais utiliser largement la distributivité du produit scalaire (noté simplement.), qui s’annule quand c’est le produit de vecteurs perpendiculaires.

Dans la question initiale, les perpendiculaires menées deDàBC, deEàCAet deF àABconcourent au centre du cercle circonscrit.

Donc DEF devient ABC de la question généralisée, ABC de la question initiale étant A⁰B⁰C⁰ de la question généralisée.

L’hypothèse est donc : il existeQtel queAQ.B⁰C⁰ = 0,BQ.C⁰A⁰ = 0,CQ.A⁰B⁰= 0 ; il s’agit de démontrer qu’il existe alors P tel que A⁰P.BC = 0, B⁰P.CA= 0, C⁰P.AB= 0.

La perpendiculaire menée parA⁰ àBCet la perpendiculaire menée parB⁰ àCA se coupent en P qui vérifie :

0 =A⁰P.BC =A⁰P.(BQ+QC) =

= (A⁰C⁰+C⁰P).BQ+ (A⁰B⁰+B⁰P).QC =C⁰P.BQ+B⁰P.QC, et 0 =B⁰P.CA=B⁰P.(CQ+QA) =

= (B⁰A⁰+A⁰P).CQ+ (B⁰C⁰+C⁰P).QA=A⁰P.CQ+C⁰P.QA.

En ajoutant, 0 =C⁰P.(BQ+QA) + (A⁰P −B⁰P).CQ=

=C⁰P.BA+B⁰A⁰.CQ=C⁰P.BA.

La relation 0 =C⁰P.BAexprime que la perpendiculaire menée par P àAB passe parC⁰ et se confond avec la perpendiculaire menée deC⁰: les trois perpendiculaires de l’énoncé sont bien concourantes en P.