Enoncé D1812 (Diophante) Un point de rencontre
Dans un triangleABC, on trace les médiatrices des trois côtésBC, CAetABet on prend respectivement les trois points quelconques D, E, F sur ces médiatrices. Démontrer que les perpendiculaires à EF, F D et DE passant respectivement par A, B et C sont concourantes.
Généralisation pour les plus courageux : démontrer que si les per- pendiculaires menées des sommets d’un triangle ABC aux côtés correspondants d’un triangle A0B0C0 sont concourantes, alors les perpendiculaires menées des sommets du triangleA0B0C0 aux cô- tés correspondants deABC sont concourantes.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Allons-y pour la généralisation, où je vais utiliser largement la distributivité du produit scalaire (noté simplement.), qui s’annule quand c’est le produit de vecteurs perpendiculaires.
Dans la question initiale, les perpendiculaires menées deDàBC, deEàCAet deF àABconcourent au centre du cercle circonscrit.
Donc DEF devient ABC de la question généralisée, ABC de la question initiale étant A0B0C0 de la question généralisée.
L’hypothèse est donc : il existeQtel queAQ.B0C0 = 0,BQ.C0A0 = 0,CQ.A0B0= 0 ; il s’agit de démontrer qu’il existe alors P tel que A0P.BC = 0, B0P.CA= 0, C0P.AB= 0.
La perpendiculaire menée parA0 àBCet la perpendiculaire menée parB0 àCA se coupent en P qui vérifie :
0 =A0P.BC =A0P.(BQ+QC) =
= (A0C0+C0P).BQ+ (A0B0+B0P).QC =C0P.BQ+B0P.QC, et 0 =B0P.CA=B0P.(CQ+QA) =
= (B0A0+A0P).CQ+ (B0C0+C0P).QA=A0P.CQ+C0P.QA.
En ajoutant, 0 =C0P.(BQ+QA) + (A0P −B0P).CQ=
=C0P.BA+B0A0.CQ=C0P.BA.
La relation 0 =C0P.BAexprime que la perpendiculaire menée par P àAB passe parC0 et se confond avec la perpendiculaire menée deC0: les trois perpendiculaires de l’énoncé sont bien concourantes en P.
