Proposition #7: Dans tout triangle, les trois médiatrices

Proposition #7: Dans tout triangle, les trois médiatrices

concourent en un même point équidistant des trois sommets.

Hypothèse:

- Soit ABC un triangle quelconque.

- E est le milieu du segment AC.

- D est le milieu du segment AB.

- F est le milieu du segment BC

- d1, d2 et d3 représentent les trois médiatrices du triangle ABC.

À démontrer:

- Les trois médiatrices concourent en un même point.

- Le point G est équidistant des trois sommets du triangle.

Démonstration:

- Cherchons l’équation de la droite d1:

pente 0

0

c c

AC b b

= − =

−

Comme d1 et

AC

^b c

−

−

b

= +

En remplaçant les coordonnées du point E on trouve:

1

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

L'équation de la doite d1 est:

2 c b b

c Vi

c b

c Vi

c b b c

Vi c c

b b c

y x

c c

= − ⋅ +

⇒ = − +

⇒ = + = +

− +

= +

-Cherchons l’équation de la droite d2:

Cette droite est verticale, elle a donc pour équation:

2 x = a

-Cherchons l’équation de la droite d3:

0

c c

penteBC

a b a b

− −

= =

− −

comme d3 et

BC

a b c

− L’équation de la droite d3 est donc de la forme:

a b

y x V

c

= − + En remplaçant les coordonnées de F on trouve:

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2

c a b a b

c Vi

c a b

V i c

c a b a b c

Vi c c c

− +

  

=       +

⇒ = − +

− − + +

⇒ = − =

- Cherchons les coordonnées du point d’intersection des droites d1 et d2.

1

2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 x a

b b c

y x

c c

b a b c

y c c

b c ab

y c

 = 

 

 

 

− +

 = + 

 

 

− +

⇒ = ⋅ + + −

⇒ =

Les coordonnées du point d’intersection sont:

2 2

2 , 2 a b c ab

G c

 + − 

 

 

- Cherchons les coordonnées du point d’intersection des droites d2 et d3

3

2

2 2 2

2

2 2 2

2 2

2 2 2 2

2

2 2

2 x a

a b a b c

y x

c c

a b a a b c

y c c

a ab a b c

y c

b c ab

y c

 = 

 

 

 

− − + +

 = + 

 

 

− − + +

⇒ = ⋅ +

− − + +

⇒ =

+ −

⇒ =

Les coordonnées du point d’intersection sont:

2 2

2 , 2 a b c ab

G c

 + − 

 

 

- Cherchons les coordonnées du point d’intersection des droites d1 et d3

2 2

1 2

2 2 2

3 2

2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2( )

2 2 2 2 2 2( ) 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2

b b c

y x

c c

a b a b c

y x

c c

b b c a b a b c

x x

c c c c

bx b c a b x a b c

b c a b c a b x bx

a ax bx b

a ax

a a

x a

 = − + 

 

 

 

 = − + − + + 

 

 

− − − + +

⇒ + = +

⇒ − + = − − + +

⇒ + + − − = − +

⇒ = − +

⇒ =

⇒ = =

En remplaçant les coordonnées de x dans y1 on trouve:

2 2

2 2

2 2

2

2 2

2 b a b c

y c c

ab b c

y c

b c ab

y c

= − ⋅ +

− + +

⇒ =

+ −

⇒ =

Les coordonnées du point d’intersection sont:

2 2

2 , 2 a b c ab

G c

 + − 

 

 

Les trois médiatrices concourent donc en un même point de coordonnées:

2 2

a b c ab

 + − 

-Cherchons la mesure du segment AG.

( ) ( )

2 2

2 2

0 0

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 4 2

4 4

4 4 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 4 2

4 4 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2

b c ab a

mAG c

b c ab a b c ab a c

mAG

c c

b c b c ab abc a b a c

mAG

c

b c b c ab abc a b a c

mAG c

 + −   

 

=  −  + − 

+ − + − +

= + =

+ + − − + +

=

+ + − − + +

=

- Cherchons la mesure du segment BG.

( )

2 2

2 2

2 0 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2

2

4 4 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2

b c ab a

mBG a

c

b c ab a

mBG c

b c ab a c

mBG c

b c b c ab abc a b a c

mBG c

 + −   

 

=   −   +   −  

 + −   − 

 

=     +    

+ − +

=

+ + − − + +

=

- Cherchons la mesure du segment CG.

( )

( )( ) ^{( )( )}

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

4 2

4 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2

2 4 4 2 2 2 2 3 2

b c ab a

mCG c b

c

b c ab c a b

mCG c

b c ab b c ab a b a b c

mCG

c

b ab b c ab a b abc b c abc c a c abc abc b c

c

b c b c ab ab

mCG

 + −   

 

=   −   +   −  

 + − −  −

   

=       +    

+ − + − + − −

= =

− − − + + − + + + − −

+ + − −

= 2 2 2 2 2

2

c a b a c c

+ +

CQFD

mAG

mBG

mCG

Conclusion:

La proposition #7 est donc vraie.