D 646 TROIS INDICES POUR UN TRIANGLE

D 646 TROIS INDICES POUR UN TRIANGLE Problème proposé par Alexandre Altinoglu

Construire à la règle et au compas un triangle ABC dont on connaît l’angle au sommet A ainsi que les dimensions de la hauteur AH et de la médiane AM.

Soit h=AH, m=AM. On construit facilement le triangle rectangle HAM d'hypoténuse m, dont un côté de l'angle droit est de longueur h. On pose u=HM, donc h² + u² = m² .

Le plus difficile est maintenant de construire les poits B et C de la droite HM, symétriques par rapport à M avec BÂC donné.

On pose encore x = MB = MC. On va trouver l'expression de x en fonction de h, m, Â.

On suppose les points dans l'ordre BHMC.

BÂC = BÂH + HÂC ; t1 = tan BÂH = (x – u)/h et t2 = tan HÂC = (x+u)/h

tan(BÂH + HÂC) = (t1+ t2)/(1–t1t2) = (2xh)/(h² – (x²-u²)) = (2xh)/(m² – x² ) = (h/m). (2mx)/(m² – x² ) Il faut tan  = (h/m) . tan (2. Arctan (x/m) ).

En inversant on trouve l'expression de x : x = m.tan {½. Arctan [(m/h).tan Â]}

Une figure auxiliaire permet de construire un segment M'T de longueur x, qu'il suffira de reporter de part et d'autre de M sur la droite HM.

PH'= h ; PM'=m ; angle M'PQ =  définit le point Q sur la perpendiculaire en M' à PM' , donc M'Q = m.tan Â; QR parallèle à PM' définit le point R sur la perpendiculaire en H' à PM', donc tan (M'PR) = (m/h).tan  ;

La bissectrice de cet angle M'PR coupe en T la perpendiculaire en M' à PM' ,

donc M'T = m.tan {½. Arctan [(m/h).tan Â]} ce qui permet d'achever la construction.