Enoncé D1872 (Diophante) Le triangle de Maurice d’Ocagne
Soit le triangleABC, etD,E,F les pieds des hauteurs issues deA,B,C.
On prend sur AD le point A0 tel que k = DA0/DA = 1/3, et les points équivalentsB0 etC0 surBE etCF.
Q1 Montrer que les trianglesABC etA0B0C0 sont semblables. Déterminer le rapport BC/B0C0.
Q2 Montrer que les perpendiculaires menées deA à B0C0, de B à A0C0 et de C àA0B0 sont concourantes.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Question 1
Je notea, b, c les longueurs des côtés BC, CA, AB. Vectoriellement, 3AB0 =AB+ 2AE =AB+ 2ccosAAC
b =AB+b2+c2−a2 b2 AC.
De même 3AC0 =AC+ 2AF =AC+ b2+c2−a2 c2 AB.
D’où 3B0C0 = b2−a2
c2 AB− c2−a2 b2 AC, 9B0C02= (b2−a2)2
c2 + (c2−a2)2
b2 −(b2+c2−a2)(b2−a2)(c2−a2) b2c2 et après réarrangement, 9B0C02/a2=
= a2 b2 −1
! a2 c2 −1
! + b2
c2 −1
! b2 a2 −1
! + c2
a2 −1
! c2 b2 −1
! . Cette expression, invariante par permutation circulaire sur a, b, c, montre que B0C0/a= C0A0/b =A0B0/c, ce qui prouve que A0B0C0 est semblable àABC, mais pas nécessairement de même sens.
Question 2
La perpendiculaure menée de B à C0A0 et celle menée de C à A0B0 se coupent enM, avec (M B, M C) = (C0A0, A0B0) =±(AC, AB).
Si ABC et A0B0C0 sont de même sens, l’arc capable correspondant à (M B, M C) = (AC, AB) est le cercle circonscrit au triangle HBC, H étant l’orthocentre de ABC. La prise en compte des autres perpendicu- laires placerait M en H, puis B0C0 perpendiculaire à HA, d’où EF = (3B0C0−BC)/2 parallèle à BC, ce qui est en général faux.
Ainsi (M B, M C) = (AB, AC) etM est sur le cercle circonscrit. La simili- tude est à retournement près. (M B, M A) = (CB, CA) = (C0A0, B0C0) et (M A, B0C0) = (M B, C0A0) = π/2, la perpendiculaire menée deA à B0C0 est concourante enM avec les deux autres, CQFD.
