Enoncé D1869 (Diophante) Deux lieux pour un point courant
Soit un triangle scalène ABC. On considère un point courant M sur la droite [BC] distinct du pied de la hauteur issue deA. SoitO1 le centre du cercle circonscrit au triangle ABM. La perpendiculaire en A au segment AM coupe la droite [BC] au pointN. La droite [M O1] coupe le cercle de diamètre M N et de centre O2 en un deuxième point P. Soit O3 le centre du cercle circonscrit au triangle AO2P.
Déterminer les lieux des pointsP etO3quandM parcourt la droite [BC].
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Soit G le symétrique de M par rapport à O1. M G est un diamètre du cercle (ABM) et l’angle GBM est droit. De même, l’angle M P N est droit ;M A, GB, N P sont les hauteurs du triangle M GN.
Les pointsB etP appartiennent au cercle de diamètre GN. D’où la suite d’angles égaux
(BG, BP) = (N G, N P) = (N A, N P) = (M A, M P) = (M A, M G) = (BA, BG),
etBGest (de même que BC) une des bissectrices de l’angle (BA, BP).
Le lieu du point P est donc la droite symétrique de [BA] par rapport à [BC].
Il en résulte aussi que
(BA, BP) = 2(BA, BG) = 2(M A, M G) = 2(M A, M P) = (O2A, O2P).
Ainsi A, B, P, O2 sont cocycliques, B appartient au cercle (AP O2) et O3
a pour lieu la médiatrice deAB.
Remarque. Le côté AC du triangle ne joue aucun rôle, la seule fonction du pointC étant de donner à [BC] une direction fixe.
