Enoncé D1840 (Diophante) Cocyclité à répétition Dans un triangle

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Enoncé D1840 (Diophante) Cocyclité à répétition

Dans un triangle ABC acutangle, on trace le centre de gravité G, les milieux I, J, K des côtés BC,CA etAB ainsi que le piedDsurBC de la hauteur issue de A.

Q₁ On trace sur la droite [AD] un point E tel que D est situé entre A et E. Démontrer que les points symétriques deD par rapport aux quatre côtés du quadrilatère ABEC sont sur un même cercle.

Q₂ On désigne par P et Q les centres de gravité des triangles ABD et ACD. Les droites [BQ] et [CP] se rencontrent en un point X.La droite [AX] coupe la droite [BC] en un pointR. Démontrer que les quatre points D, P, Q, R sont sur un même cercle.

Q₃ Démontrer que les six centres des cercles circonscrits aux triangles AGJ,AGK,BGI,BGK,CGI,CGJ sont sur un même cercle.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin

Question 1

SoientS, T, U, V les symétriques de Dpar rapport àAB, BE, EC, CA.

Dans le cercle (A, AD) (de centre Aet de rayonAD) qui contientS etV, on a (angles orientés)

(SD, SV) = (AD, AV)/2 = (AD, AC) = (BC, AC) +π/2.

Dans le cercle (B, BD), (ST, SD) = (BT, BD)/2 = (BE, BC).

Ainsi (ST, SV) = (BE, AC) +π/2 à kπ près.

De même, dans le cercle (E, ED),

(U T, U D) = (ET, ED)/2 = (EB, ED) = (EB, BC)−π/2.

Dans le cercle (C, CD), (U D, U V) = (CD, CV)/2 = (CB, CA).

Ainsi (U T, U V) = (BE, AC) +π/2 à kπ près.

L’égalité (U T, U V) = (ST, SV) à kπ près montre que S, T, U, V sont cocycliques, CQFD.

Question 2

L’homothétieH de centre D et de rapport 3 transforme P etQ en B⁰ et C⁰, projections deB etC sur la parallèle à BC passant parA. SoitD⁰ le symétrique deDpar rapport au milieu deBC. Par symétrie par rapport à la médiatrice deBC etB⁰C⁰, le segmentB⁰C⁰ est vu deDet deD⁰ sous le même angle et D, B⁰, C⁰, D⁰ sont cocycliques. Pour qu’il en soit de même pourD, P, Q, R, il suffit de montrer queD⁰ est le transformé de R.

En coordonnées barycentriques de base A, B, C, D a pour coordonnées D(0, µ,1−µ) en posant µ = sinBcosC/sinA. Ensuite D⁰(0,1−µ, µ), P(1/3,(1 +µ)/3,(1−µ)/3),Q(1/3, µ/3,(2−µ)/3). Le segmentP Qétant le tiers deBC, est l’homothétique deCBdans l’homothétie de centreXet de rapport−1/3 ; ainsi BX = 3BQ/4 etX(1/4,(1 +µ)/4,(2−µ)/4). Sur la droiteAX, le rapport de la 2e et de la 3e coordonnée est (1 +µ)/(2−µ), d’où pourR(0,(1 +µ)/3,(2−µ)/3).

Le transformé de R par H s’obtient en retranchant le double des coor- données de D du triple des coordonnées de R; cela donne (0,1−µ, µ), coordonnées deD⁰. D’où la propriété annoncée.

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Question 3

SoientL, M, N, O, P, Qles centres de ces 6 cercles. Ils se situent sur les mé- diatrices des segments GA, GI, GB, GJ, GC, GK d’où les équations, dans un système de coordonnées cartésiennes Gxy :

LM :xcosα+ysinα= 2a, OP :xcosα+ysinα=−a, N O :xcosβ+ysinβ = 2b, QL :xcosβ+ysinβ =−b, P Q :xcosγ+ysinγ = 2c, M N :xcosγ+ysinγ =−c, d’où les coordonnées

L

2asinβ+bsinα

sin(β−α) ,−2acosβ+bcosα sin(β−α)

,

M

2asinγ+csinα

sin(γ−α) ,−2acosγ+ccosα sin(γ−α)

.

Par rapport aux droitesLM, N O, P Q,Ga pour symétriques A(4acosα,4asinα), B(4bcosβ,4bsinβ), C(4ccosγ,4csinγ), qui ontGpour isobarycentre, d’où

acosα+bcosβ+ccosγ = 0,

asinα+bsinβ+csinγ = 0, système qui se résout en a

sin(γ−β) = b

sin(α−γ) = c sin(β−α).

Soit 2s la longueur valeur commune de ces expressions. En posant

ω= sin(γ−β)(sin(α−γ) sin(β−α), l’aire du triangleABC est 3 fois celle du triangleGBC, soit 3(1/2)(4b)(4c) sin(γ−β) = 96s²ω.

Substituanta, b, c en fonction de s, α, β, γ, on obtient les coordonnées L

s2 cos(2β−γ)−cosγ−cos(2α−γ)

sin(β−α) , s2 sin(2β−γ)−sinγ−sin(2α−γ) sin(β−α)

,

M

s2 cos(2γ−β)−cosβ−cos(2α−β)

sin(α−γ) , s2 sin(2γ−β)−sinβ−sin(2α−β) sin(α−γ)

. La médiatrice du segmentLM, parallèle àGA, admet pour équation

(2x−xM −xL) sinα= (2y−yM −yL) cosα, soit xsinα−ycosα

s = sin(β−α)

sin(α−γ) −sin(α−γ) sin(β−α).

Une permutation circulaire sur α, β, γ transforme cette équation en celle de la médiatrice de N O :

xsinβ−ycosβ

s = sin(γ−β)

sin(β−α) −sin(β−α) sin(γ−β). Ces deux droites se coupent en Ω vérifiant

2xω/s= sinαsin(2α−β−γ) + sinβsin(2β−γ−α) + sinγsin(2γ−α−β), 2yω/s= cosαsin(2α−β−γ) + cosβsin(2β−γ−α) + cosγsin(2γ−α−β).

La forme de ces expressions, invariante par permutation circulaire sur α, β, γ, montre que Ω est aussi l’intersection des médiatrices de N O et P Q: ces trois médiatrices sont concourantes.

Resterait à montrer que ΩL² est une fonction de α, β, γ, invariante par permutation circulaire. Je n’ai pas mené ce lourd calcul à terme.