Enoncé D1884 (Diophante)
Réflexions sur réflexions (2ème épisode)
Dans un triangleABCon trace les pointsA0,B0etC0qui sont les réflexions des sommets A,B etC par rapport à un pointP quelconque.
Q1Démontrer que les cercles (A0BC), (B0CA) et (C0AB) sont concourants en un même point Q.
Q2 Déterminer le lieu du pointQ0 symétrique deQpar rapport àP quand P décrit :
a) la médiatrice de BC
b) la droite passant par A et le milieuM du côtéBC.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
BCB0C0, CAC0A0, ABA0B0 sont des parallélogrammes, leurs diagonales se croisant en leur milieu P. D’où pour les angles (orientés, moduloπ) (C0A, C0B) = (A0C, B0C) = (A0C, A0B) + (A0B, B0A) + (B0A, B0C) et avecQ intersection des cercles (A0BC) et (B0CA)
= (QC, QB) + 0 + (QA, QC) = (QA, QB),
ce qui exprime que C0, A, B, Q sont cocycliques : les trois cercles sont concourants en Q.
Question 2
a) QuandPest sur la médiatrice deBC, il est centre du rectangleBCB0C0. La médiatrice commune aux segmentsBC0 etCB0 est la ligne des centres des cercles (B0CA) et (C0AB), médiatrice de la corde commune AQ; la symétrie par rapport au point P de cette médiatrice donne le rectangle AQA0Q0, et Q0 est fixe, symétrique de A par rapport à la médiatrice de BC.
b) Le point fixe de la question a) appartient au cercle circonscrit au triangle ABC, et c’est toujours aussi le cas de Q0, que P appartienne ou non à la médianeAM.1
En effet, on a dans le cercle (C0AB)
(QA, QC0) = (BA, BC0) = (BA, BC) + (BC, BC0), et dans (B0CA) (QA, QB0) = (CA, CB0) = (CA, CB) + (CB, CB0), puis par différence (QB0, QC0) = (BA, BC) + (CB, CA) + (CB0, CB) + (BC, BC0), puis = (BA, AC) + (CB0, BC0) = (AB, AC) moduloπ.
Ainsi (Q0B, Q0C) = (AB, AC) et A, B, C, Q0 sont cocycliques.
La figure construite avec GeoGebra montre queQ0 parcourt l’ensemble du cercle circonscrit.
1. Indice d’une perversité de l’auteur du problème, orientant le lecteur vers une caractérisation difficile de ce cas de figure ?
