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Seconde Fiche 13 2015-2016

Sur la figure ci-dessous, ABC est un triangle quelconque. On définit trois points D, E et F par : −− → AD = − − →

−→ BC, AE = 1

3

−→ AC et −→

AF = 2 3

−→ AC. On appelle, par ailleurs, I et J les milieux respectifs de [AB] et [CD].

b

b b

A

B

C

bc bc bc bc bc I E

F J

D

1. Construction de : D, E, F , I et J ; 2. −−→

DE = − − → DA + −→

AE = − − → DA + 1

3

−→ AC et

− − → F B = − − →

F C + − − → CB = 1

3

−→ AC + − − → DA = −−→

DE

donc les droites (DE) et (F B) sont parallèles.

3. On peut écrire que − − → F E = 1

2

−→ F A : cela se démontre à partir des relations −→

AE = 1 3

−→ AC et −→

AF = 2 3

−→ AC.

−→ IE = −→

IB + − − → BF + − − →

F E = 1 2

− − → AB + −−→

ED + 1 2

−→ F A = −−→

ED + 1 2

− − → F B Or − − →

F B = −−→

DE donc −→

IE = 1 2

−−→ ED

Les vecteurs −→

IE et −−→

ED sont colinéaires donc les points I, E et D sont alignés.

4. Démonstration analogue.

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