D1862. Points de tangence
Soit un triangle scalène ABC. On trace quatre cercles :
— le cercle (Γ) de centreO circonscrit à ce triangle,
— le cercle inscrit (ω) de centre I,
— le cercle exinscrit (Ω) de centre J dans le secteur de l’angle enA,
— le cercle (γ) de diamétre IJ.
Les cercles (ω) et (γ) se coupent en P et Q et leurs tangentes communes se coupent au point R.
Les cercles (Ω) et (γ) se coupent en S et T et leurs tangentes communes se coupent au point U.
Démontrer que les cercles (P QR) et (ST U) sont tangents au cercle (Γ) et que les deux points de tangence sont situés sur la même droite parallèle à BC.
Solution proposée par Michel ROME
Il est bien connu queγ, le cercle de diamètreIJ, passe parB etCet que son centre Dest sur le cercle circonscrit.
Le point R est le centre d’homothétie positive des cercles (γ) et (ω)
On désigne par K le point de (ω) le plus proche de D sur la bissectrice AI.
Soient r etr0 les rayons de (ω) et (γ). Sur l’axeAI, on a :
RI RD = r
r0, DK =r−r0 Alors
DR·DK =rDR−r0DR=r0IR−r0DR=r02
On voit que l’inversion de centre Det de cercle invariant (γ) échange :
— (Γ) et la droite (BC),
— (P QR) et (ω)
Ainsi le (P QR) et (Γ) sont tangents. Leur point de contact F s’échange avec celui de (ω) et (BC). De plus ces deux points sont alignés avecD.
On peut faire de même avec le cercle extérieur (Ω).F0 point de contact entre (Γ) et (ST U), est aligné avecDet le point de contact de (Ω) avec (BC). Les
droites (DF) et (DF0) sont symétriques par rapport à la médiatrice de BC.
Donc (F F0) est parallèle à (BC).
A
B C
(Γ)
D (γ)
I
J (ω)
P
Q R
F
K
F0
