Démontrer que les points Q,I,R sont alignés

D1821‒ Une figure pascalienne [*** à la main]

Soient O le centre du cercle circonscrit (Γ) et I le centre du cercle inscrit (γ) d'un triangle ABC. Le cercle (γ) touche le côté BC au point D, la bissectrice AI coupe le cercle (Γ) en un deuxième point E autre que le point A et le point F est le point diamétralement opposé au point A sur ce même cercle (Γ). Les droites FI et DE se coupent en un point P, les droites PC et BE se coupent en un point Q et les droites AC et BF se coupent en un point R. Démontrer que les points Q,I,R sont alignés.

Solution proposée par Bernard Vignes

Lemme: le point d'intersection P des droites (DE) et (FI) est sur le cercle (Γ).

On désigne par S et T les points de contact du cercle (γ) avec les côtés AB et AC.

Supposons que la droite (FI) coupe (Γ) au point P'. On a IP'A = 90° = ISA = ITA.

Les points A,P',S,I et T sont sur un même cercle de diamètre AI.

Il en résulte : P'SA = P'TA et P'SB = P'TC.

Par ailleurs P'BA = P'BS = P'CA = P'CT. Les triangles P'BS et P'CT sont donc semblables et l'on a les relations P'B/P'C = BS/CT = BD/CD.

On en déduit que la droite (P'D) est la bissectrice de BPC dans le triangle BP'C. Elle est donc confondue avec la droite (DE). P' et P ne font donc qu'un seul point.

On considère alors l'hexagone AEBFPC inscrit dans le cercle (Γ).

D'après le théorème de Pascal, les points d'intersection I = (AE)  (FP), Q= (BE)

(CP) et enfin R = (BF) (AC) sont alignés.