D1821 Une Figure Pascalienne.
Soient O le centre du cercle circonscrit (Γ) et I le centre du cercle inscrit (γ) d'un triangle ABC. Le cercle (γ) touche le côté BC au point D, la bissectrice AI coupe le cercle (Γ) en un deuxième point E autre que le point A et le point F est le point diamétralement opposé au point A sur ce même cercle (Γ). Les droites FI et DE se coupent en un point P, les droites PC et BE se coupent en un point Q et les droites AC et BF se coupent en un point R. Démontrer que les points Q,I,R sont alignés.
On va montrer que P est sur le cercle (Γ) en comparant les angles (IÂO) et (DE,IF).
Le cercle (γ) est supposé être de rayon 1. Ce cercle est tangent en D à BC. Soient S et T les points de contact de (γ) avec AB et AC. L'affixe de chaque point sera désigné par la lettre minuscule correspondante.
Les tangentes en S et T ont pour équations z = 2s – s² ̄ z et z = 2t – t² ̄ z la résolution de ce système donne a = 2st/(s+t) et de même b = 2sd/(s+d) et c = 2td/(t+d)
Le développement d'un déterminant d'ordre 4 conduit à l'équation du cercle
(Γ) qui passe par A,B,C : z̄ z
– 2z( st+ td + ds)
((s+t )(t +d )(d +s))
– 2̄ z (std ( s+t+ d )) (( s+t )(t+d )(d + s))
+(4std )
(( s+t )(t+d )(d + s))
= 0 Le centre O de (Γ) a pour affixe o =(2std ( s+t + d ))
(( s+t )(t +d )(d +s))
F a pour affixe f = 2o – a =(4std ( s+t +d ))
((s+ d )( t+ d )(d + s ))
– 2st/(s+t) =(2st (d
2+d ( s+t )−st )) (( d + s)(s+t)( t+d ))
Dans l'équation de (Γ) on remplace z par ka = 2kst/(s+t) et̄ z
par k̄ a
= 2k/(s+t) où k est réel, les solutions de l'équation d'inconnue k ainsi obtenues sont k=1 et, pour le point E, k =( d ( s+t))
((s+ d )( t+ d ))
donc e =( 2std)
((s+ d )( t+ d ))
On doit comparer les arguments des nombres complexes f/(e-d) et (o-a)/a e – d =
(2std )
(( s+ d )( t+d ))
- d = –(d ( d
2+ d (s+t )−st )) (( d + s)(d +t ))
f/(e-d) =(2st (d
2+d ( s+t )− st))
((d +s)( s+t )( t+ d ))
/ [ –(d ( d
2+d (s+t )−st )) (( d + s)(d +t ))
] =(−2st ) (d ( s+ t))
o – a =( 2std( s+t +d ))
(( s+t )(t +d )(d + s))
–( 2st) ( s+t )
= –(2s
2t
2)
((d + s)( s+t )(t+d ))
(o-a)/a = –( s t)
(( d + s)(t+ d ))
; [f/(e-d) ] / [(o-a)/a] =(2( d + t )(d + s)) ( d (s+t ))
Cette expression est invariante lorsqu'on procède aux substitutions d→1/d, s→1/s, t→1/t , elle est égale à son conjugué, elle est réelle, les angles (IÂO) et (DE,IF) sont égaux, donc P est sur le cercle (Γ).
PCAEBF est un hexagone inscrit dans le cercle (Γ), le théorème de Pascal s'applique : les trois points PC ∩ EB = Q, CA ∩ BF = R, et AE ∩ FP = I sont alignés.
