Montrer que l’ensembleF−1={z−1/z∈F}admet au moins un point d’accumulation dans C

Universit´e Paris Diderot Fonctions analytiques

Licence de Math´ematiques Ann´ee 2009-10

R. Lascar, L. Merel, ´E. Toubiana

EXAMEN du 18 mai 2010 Dur´ee : 3 h

L’usage des calculatrices, t´el´ephones et de tout document est interdit.

Exercice 1

1. D´eterminer les ensemblesE1={z∈C/e^z= 1} etE2iπ ={z∈C/e^z= 2iπ}.

2. D´eterminer l’ensembleF des nombres complexesz tels quee^ez = 1.

3. Repr´esenter ces points dans un dessin du plan complexe.

4. L’ensembleF admet-il des points d’accumulation dansC?

5. Montrer que l’ensembleF⁻¹={z⁻¹/z∈F}admet au moins un point d’accumulation dans C.

6. Y a-t-il une fonction enti`ere non nulle qui s’annule en tout ´el´ement deF⁻¹ ?

Exercice 2 Soitf une fonction enti`ere telle que|f(z)| ≤ |sin(z)| (z∈C).

1. Quel est l’ensemble des z´erosX dez7→sin(z) ?

2. Montrer que la fonctionz7→f(z)/sin(z), d´efinie en dehors deX, se prolonge en une fonction enti`ere.

3. En d´eduire quef et sin sont proportionnelles (i.e. leur rapport est constant).

4. Ce r´esultat est-il encore valable si on remplace sin par une autre fonction enti`ere ?

Exercice 3

1. Donner le d´eveloppement en s´erie enti`ere au voisinage de 0 de la fonctionz7→1/(1 +z+z²).

2. Quel est le rayon de convergence de cette s´erie ?

3. La fonctionf : z7→e^z/(1 +z+z²) est-elle enti`ere, m´eromorphe ? 4. D´eterminer les r´esidus de cette fonction.

5. CalculerR

C(0,2)f(z)dz. (Rappel : R

C(0,2) signifie l’int´egration le long du chemint7→2e^2iπt.)

Exercice 4

1. D´emontrer qu’il existe une unique fonction m´eromorphef surC−R+ qui v´erifie

f(x) = x^2/3 (x+ 1)(x+ 2)² (x∈R₋− {−1,−2}).

2. Que valent alors lim_>0,→0f(x−i) et lim_>0,→0f(x+i), lorsquex∈Retx >0 ? 3. D´eterminer les pˆoles et les r´esidus def.

4. Calculer

Z +∞

0

x^2/3

(x+ 1)(x+ 2)²dx.