Enoncé D1821 (Diophante) Une figure pascalienne
Soient O le centre du cercle circonscrit (Γ) etI le centre du cercle inscrit (γ) d’un triangle ABC. Le cercle (γ) touche le côté BC au point D, la bissectrice AI coupe le cercle (Γ) en un deuxième point E autre que le point A et le point F est le point diamétralement opposé au point A sur ce même cercle (Γ). Les droites F I etDE se coupent en un point P, les droites P C etBE se coupent en un point Q et les droites AC et BF se coupent en un pointR. Démontrer que les points Q, I, Rsont alignés.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
L’alignement des pointsI =AE∩P F, Q=BE∩P C, etR =AC∩BF équivaut, par le théorème de Pascal, au passage d’une même conique par les 6 pointsAEBF P C. Les 5 points ABCEF définissent une conique qui est (Γ), il suffit donc de montrer que le pointP appartient à (Γ).
L’appartenance de P à (Γ) se traduit par la condition (B − C)/2 = (AE, AF) = (P E, P F) = (DE, IF) = (DE, BC)−(IF, BC).
Je vais vérifier que (DE, BC)−(B−C)/2 = (IF, BC).
Je prendsE comme origine des coordonnées, les axes étant parallèles res- pectivement à BC et EO. L’unité de longueur est le rayon de (Γ). D’où les coordonnées
E(0,0), O(0,1),
A(sin(C−B),1 + cos(C−B)), B(−sinA,1−cosA),
C(sinA,1−cosA),
D(sinC−sinB,1−cosA), F(sin(B−C),1−cos(C−B)),
I(sinC−sinB,cosB+ cosC), le rayon du cercle inscrit étant r= cosA+ cosB+ cosC−1.
tan(DE, BC) = 1−cosA
sinB−sinC = sin(A/2) sin(B/2−C/2), tan
(DE, BC)−B−C 2
= sin(A/2) cos(B/2−C/2)−sin2(B/2−C/2) sin(B/2−C/2)(cos(B/2−C/2) + sin(A/2))
= cosB+ cosC+ cos(B−C)−1 sin(B−C) + sinB−sinC .
On reconnaît dans ce dernier rapport celui des composantes de IF, soit tan(IF, BC), CQFD.