TS6 Interrogation 10A 25 janvier 2019 Calculatrice interdite.
Exercice 1 :
On consid`ere un t´etra`edreABCD. On appelle I le milieu de [AB] et J le milieu de [AC]. SoitH un point du segment [AD] distincts de son milieu :
A
B
C D
I
J H
M
N
• Les droites (HI) et (DB) se coupent en M;
• Les droites (HJ) et (DC) se coupent enN. (1) D´emontrer que (IJ) est parall`ele `a (BC).
(2) D´emontrer `a l’aide du th´eor`eme du toit que (IJ) et (M N) sont parall`eles.
Solution:
(1) Dans le triangleABC. I est le milieu de [AB], J est le milieu de [AC]. D’apr`es le th´eor`eme des milieux, (IJ)//(BC).
(2) Les plans (HM N) et (DBC) sont s´ecants en (M N).
(IJ) est contenu dans (HM N).
(BC) est contenu dans (DBC).
(IJ)//(BC).
Par le th´eor`eme du toit (M N)//(IJ).
Exercice 2 :
On consid`ere le cube ABCDEF GH et les points K,I et J appartenant respectivement `a [BC], [CD] et [EH].
(1) Construire en utilisant la propri´et´e d’incidence le point N intersection des plans (IJ K) et (BCG) (On justifiera).
(2) Montrer que les droites (EH) et (IJ) sont s´ecantes en un pointP. Construire ce point.
(3) En d´eduire, en justifiant, l’intersection des plans (IJ K) et (EF G).
(4) Construire en vert la section du cube par le plan (IJ K) sans justifier.
classe Interrogation 1A Page 2 de 2
Baccalauréat S A. P. M. E. P.
Annexe (à rendre avec la copie)
A B
D C
E F
H G
I J
K
Centres étrangers 7 11 juin 2018
Solution:
(1) (ADH)//(BCG). (IJ K) et (BCG) sont s´ecant en (IJ) par la propri´et´e d’incidence, l’intersection de (IJ K) et (ADH) sont s´ecants en une droite parall`ele `a (IJ).
Cette droite passe par K carK ∈(BCG)∩(IJ K).
(2) (EH) est contenue dans (ADH). (IJ) est contenue dans (ADH) donc (IJ) et (EH) sont co- planaires. De plus (HE)//(AD) et (AD) et (IJ) sont s´ecants en J, donc (HE) et (IJ) sont s´ecants.
(3) On a doncP ∈(IJ K). De plusP ∈(EH) donc P ∈(EF G) (car H∈(EP G)).
On en d´eduit queP ∈(IJ K)∩(EF G).
Le point K appartient au plan (IJ K) et `a la droite (F G) qui est contenue dans le plan (EF G).
On en d´eduit queK ∈(IJ K)∩(EF G).
Les plans (IJ K) et (EF G) ne sont pas parall`eles donc leur intersection est une droite. Les deux points P et K appartiennent `a l’intersection des deux plans donc l’intersection des deux plans (IJ K) et (EP G) est la droite (P K).
Corrigé - Baccalauréat S A. P. M. E. P.
La point N a donc pour coordonnées
⎛
⎝ 1 1 14
⎞
⎠.
c.Placement du point N et construction de la section du cube par le plan (IJK) :
A B
E F
G H
D C I J
K
P
N
Partie C
On note R le projeté orthogonal du point F sur le plan (IJK). Le point R est donc l’unique point du plan (IJK) tel que la droite (FR) est orthogonale au plan (IJK).
On définit l’intérieur du cube comme l’ensemble des points M (x;y;z) tels que
⎧⎨
⎩ 0<x<1 0<y<1 0<z<1 Le point R est le projeté orthogonal de F sur le plan (IJK) donc le vecteur−→FR est orthogonal au plan, donc il est colinéaire au vecteur−→n; les coordonnées de−→FR sont donc de la forme
⎛
⎝4k
−6k
−4k
⎞
⎠oùk∈R.
Le point F a pour coordonnées
⎛
⎝1 0 1
⎞
⎠donc le vecteur−→FR a pour coordonnées
⎛
⎝xR−1 yR zR−1
⎞
⎠.
On en déduit que R a pour coordonnées
⎛
⎝1+4k
−6k 1−4k
⎞
⎠.
On pourrait calculer la valeur du réelken utilisant le fait que R est un point du plan (IJK) donc que ses coordonnées vérifient 4xR−6R−4zR+3=0.
Mais si on trouvek!0, on auraxR=1+4k!1 donc on pourra déduire que R n’est pas à l’intérieur du cube, et si on trouvek<0, on aurazR=1−4k>1 donc on pourra également déduire que R n’est pas à l’intérieur du cube.
On peut donc dire que R n’est pas à l’intérieur du cube.
Pour les amateurs de calcul, on trouvek= −3 68et
(14 17,9
34,20 17 )
comme coordonnées de R. On voit alors quezR>1.
Centres étrangers 9 11 juin 2018
