TS 8 Interrogation 10A : Correction 7 janvier 2017 Exercice 1 :
On consid`ere un t´etra`edreABCDet les points I, J, et K tels que : I ∈ [AB] et AI =
1
2AB, J ∈[AC] etAJ = 12AC etK∈[CD].
1. D´emontrer que les droites (IJ) et (BC) sont parall`eles.
Soit L l’intersection du plan (IJ K) et de la droite (BD).
2. Donner en utilisant le th´eor`eme du toit les positions relatives de (KL) et (BC).
A
B
C I D
J K
Solution:
1. Dans le triangleABC,Iest le milieu de [AB] etJest le milieu de [AC], par le th´eor`eme des milieux, (IJ)//(BC).
2. L appartient `a (IJ K) etL∈(BD) doncL∈(BCD). DoncL∈(BCD)∩(IJ K).
Les plans (IJ K) et (BCD) sont s´ecants en (KL).
• (IJ)∈(IJ K)
• (BC)∈(BCD)
• (IJ)//(BC)
Par le th´eor`eme du toit, (BC)//(KL).
Exercice 2 :
On consid`ere le cube ABCDEF GHet les pointsM,N et P appartenant respectivement `a [BC], [CD] et [EH] 1. Justifier que les droites (M N) et (AD) sont s´ecantes en un point appel´eL. Construire ce point.
2. Construire en justifiant l’intersectionK du plan (M N P) et de la droite (DH).
3. On appelledla droite d’intersection des plans (M N P) et (EF G). Tracer cette droite en justifiant.
4. Tracer (en vert) sans justifier la section du plan (M N P) avec le cube.
Solution:
1. M ∈ (BC) et N ∈ (CD) donc (M N) est inclut dans (ADC).
(M N) et (AD) sont donc coplanaires.M ∈(BC) et (AD)//(BC) donc (M N) n’est pas parall`ele `a (AD) et donc (AD) et (M N) sont s´ecante.
2. K est l’intersection des droites (P L) et (HD).
3. (ABC) et (EF G) sont parall`eles. (M N P) intersecte (ABC) en (M N). Par la propri´et´e d’incidence, (M N P) intersecte (EF G) en une droite parall`ele `a (M N). De plus cette droite passe par P, il faut donc tracer la droite parall`ele `a (M N) et qui passe par P.
4. On app`ele Q l’intersection de d avec (EF). On trace la pa- rall`eled3`a la droite (P K) qui passe parM, on appelleRl’inter- section de (F B) etd3.
A
B
C
D E
F
G
H P
M
N L
K Q
t R
