D636. La Saga de la règle seule (2ème épisode) Problème proposé par Yves Foussard
Avec la règle seule et un cercle dont on connaît le centre :
(a) construire la bissectrice d’un angle déterminé par deux demi-droites D₁ et D₂ concourantes, (b) construire la bissectrice d’un angle défini par deux droites D₁ et D₂ qui concourent hors épure.
(c) effectuer la rotation dans le sens horaire d’un segment de droite AB autour de A afin d’amener B sur une droite (L) passant par A et distincte de la droite AB.
(d) effectuer la translation d’un segment de droite CD selon un vecteur dont le point de départ est C et le point d’arrivée un point E donné.
Solution proposée par Claudio Baiocchi
On verra dans un moment que:
On sait tracer la parallèle à une droite passant par un point . (1) d’où la solution de problème (d): il suffit de tracer le point commun à la parallèle par E à la droite de CD et la parallèle par D à la droite de CE.
Pour ce qui concerne le problème (c), soit O le centre du cercle. On mène les parallèles par O à la droite de AB et à la droite (L); les intersections avec le cercle sont les sommets d’un rectangle et les parallèles par B aux cotés du rectangle donnent les deux rotations possibles (horaire et antihoraire).
Pour ce qui concerne le problème (a), on notera les intersections du cercle avec les parallèles à menées par O; et les intersections de la droite joignant avec les demi-droites
et . On verra dans un moment que:
On sait tracer le point-milieu M d’un segment (2)
et alors, pour terminer la résolution de problème (a), il suffira de tracer la droite joignant le milieu de au point commun à .
La même stratégie nous permet de résoudre aussi le problème (b), compte tenu du fait que, comme on va voir bientôt, la propriété suivante est valable:
On sait tracer la droite joignant un point à l’intersection de deux droites (3) Naturellement l’intérêt de la propriété (3) est lié à l’hypothèse (bien réaliste!) que la règle et le feuille de papier ne sont pas «infinis»; par ailleurs, indépendamment de la grandeur de la règle et du feuille, elle est indispensable pour le « cas limite » de problème (b), lorsque le couple de «demi- droites concourantes» est remplacé par un couple de droites parallèles. Bien entendu, dans ce cas limite, la construction du point M demande une variante, qui sera illustrée plus loin.
On va maintenant montrer comment construire les outils de base (1), (2) et (3); ce dernier est une conséquence immédiate du Théorème de Desargues et il est valable indépendamment de la donnée d’un cercle et de son centre: la règle seule est suffisante.
On donne un point C et deux droites a, b (tracés en noir). On fixe un point A sur a, un point B sur b et on trace (en bleu) les droites AB, BC, CA; on trace (en jaune) une autre droite et on appelle C’, A’ et B’ les intersections avec AB, BC et CA respectivement. Ensuite on travaille en vert: on mène une droite par C’ qui coupe a en A’’ et b en B’’; et on construit C’’ comme intersection des droites B’A’’ et A’B’’. D’après le théorème de Desargues, les droites a, b et CC’’ sont concourantes.
En particulier on sait désormais traiter le problème:
On donne un point C et deux droites parallèles. On cherche une parallèle commune passante par C car il suffit de tracer les huit droites prévues par le théorème de Desargues. Si le point C est donné
«à moitié» entre les deux droites, la parallèle commune est la bissectrice du couple; mais, à partir des deux droites, comment tracer un tel point C? La présence du cercle et son centre permet de résoudre le problème, cas limite du problème (b):
Deux diamètres (tracés en bleu) permettent de construire un parallélogramme (en rouge) dont les diagonales se rencontrent en un point C qui appartient à la bissectrice (non tracée)
Il est désormais évident que:
On peut construire un couple de parallèles et leur bissectrice (4) car il suffit d’inscrire un rectangle dans le cercle et de choisir le centre du cercle comme point C et deux côtés opposés comme droites parallèles.
La propriété (4) est très importante car, à partir d’elle, on réalise beaucoup d’autres constructions;
par exemple la propriété (1):
Sur la droite s donnée on construit un
segment AB et son point milieu en coupant s par deux droites parallèles et leur bissectrice (non dessinées).
On fixe le point Q au dessus de P et on trace les droites QC et BP qui se coupent en R;
ensuite on trace les droites QB et AR qui se coupent en S.
La droite PS résulte parallèle à s, d’après des propriétés bien connues telles que le
quadrilatère complet et les droites de Ceva
Par ailleurs aussi la propriété (2) suivit aisément de (4); plus en général à un segment UV donné on peut associer le point-milieu X mais aussi le point Y tel que U est milieu de YV:
On commence à tracer une parallèle;
de la construction précédente on n’a retenu que les points P,T,S. On cherche l’intersection entre PV et SU, que l’on joint à T; et
l’intersection entre PV et TU, que l’on joint à S.
On termine montrant que la propriété (4) admet d’autres démonstrations; par exemple:
On reprend la construction précédente partant d’un point P sur le cercle et d’un diamètre comme segment AB, dont on connait le point milieu C (le centre du cercle).
On appelle T la deuxième intersection de la parallèle PS avec le cercle; et on trace les diamètres PP’, TT’.
La droite T’P’ est elle aussi parallèle à AB car PTP’T’ est un rectangle.
Puisque C est le centre du rectangle, la droite AB est bien la bissectrice du couple (PT,P’T’)
